8.4. Интеграл как функция переменного верхнего предела

Пусть функция интегрируема на тогда по свойству (3) она интегрируема на любом отрезке т.е. существует интеграл Если придавать х различные значения из то величина интеграла будет изменяться, причем каждому х будет соответствовать определенное действительное число (значение данного интеграла). Отсюда ясно, что определенный интеграл является функцией переменного верхнего предела х. Обозначим

8.5. Производная от интеграла по переменному верхнему пределу.

Теорема. Если функция непрерывна на , то функция имеет производную, которая равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе, т.е.

Доказательство. Возьмем произвольное значение х и дадим ему приращение на Запишем приращение функции в данной точке. но Значит, Применяя свойство (1) и (3):

К последнему интегралу применим теорему о среднем:

где с находится между точками и . Таким образом, Число с можно представить так:

По определению производной: Итак, получили Теорема доказана.

Следствие. Если функция непрерывна на то для нее всегда существует первообразная, ибо в качестве первообразной мы всегда можем взять функцию Таким образом, доказано достаточное условие существования неопределенного интеграла.

8.6. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция непрерывна на и надо вычислить определенный интеграл

На практике вычислять определенный интеграл, как и предел интегральной суммы тяжело. Выведем формулу, которая дает возможность вычислить интеграл, если известна первообразная. Как мы знаем, является первообразной для - другая первообразная. Т.к. первообразные могут отличаться лишь постоянными, то (1)

Формула (1) справедлива для всех из положим в (1)

Значит, (1) перепишем: (2). Полагая в формуле (2)

- формула Ньютона-Лейбница (3)

Разность обозначим: , - первообразная, т.е. .

Примеры.

1. 

2. 

3. .

8.7. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть - непрерывна на значит можно вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

где - первообразная. Введем новую переменную интегрирования, полагая где функция определена на и удовлетворяет условиям:

1. - непрерывна на

2. Когда пробегает , то значение функции пробегает т.е. При этом

3. имеет непрерывную производную на

При этих условиях имеет место формула: - формула замены переменной в определенном интеграле.

Замечание 1. При замене переменной в неопределенном интеграле, мы должны в ответе были вернуться к прежней переменной. При вычислении определенного интеграла такой необходимости нет, т.к. вычислив интеграл мы получим число, равное исходному интегралу.

Замечание 2. Иногда удобнее брать подстановку не в виде а наоборот,

1. 

8.8. Интеграл с симметричными пределами от четной и нечетной функции

Определение. Интегралом с симметричными пределами называется интеграл вида Преобразуем этот интеграл, используя свойство (3):

Преобразуем первый интеграл справа: Сменим переменную интегрирования, т.к. интеграл определенный, то ничего не изменится. Получаем

Вывод.

Примеры.

1) 2) 3)