6. Интегрирование некоторых иррациональных выражений

Пусть требуется найти , где - иррациональная функция. Заранее мы не знаем первообразной для этой функции. Решаются такие интегралы заменой (подстановкой). Подстановка приводит данное иррациональное выражение к рациональному выражению, а как решать их мы знаем.

1. Интегралы вида упрощаются с помощью подстановки .

Пример.

.

II. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки .

Примеры:

1)

2) . Сделаем подстановку: , тогда

.

Таким образом, интегралы вида , где - рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки где - наименьший общий знаменатель дробей (т.е. наименьшее общее кратное чисел и ).

III. Интегралы вида (1)

(2)

(3)

находят подстановкой

в (1)

во (2)

в (3)

Примеры:

1)

.

2)

.

7. Интегрирование тригонометрических функций

I. Интегралы вида где хотя бы один из показателей степеней - нечетное положительное число приводят к табличному, путем разделения нечетной степени на четную и первую степень. Первая степень вводится под знак дифференциала и применяется формула тригонометрической единицы: .

Пример.

.

II. Интегралы вида где оба показателя четные неотрицательные числа, упрощаются с помощью формул понижения степени ; .

Пример.

.

III. Интегралы вида ; ; приводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

Примеры.

1.

IV. Интегралы вида где - рациональная функция переменных приводятся к интегралам от рациональной функции одной переменной с помощью универсальной подстановки . Тогда, .

Пример.

.

V. Интегралы вида приводятся к рациональной функции одной переменной с помощью подстановки : .

.

Пример.

8. Определенный интеграл

8.1. Понятие определенного интеграла.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок произвольным образом на n частичных отрезков точками . Д

лину частичного отрезка обозначим через: .

В каждом частичном отрезке возьмем произвольно по точке и вычислим значение функции в этой же точке . Каждое значение умножим на длину соответствующего частичного отрезка и рассмотрим сумму полученных произведений:

(1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . От чего зависит интегральная сумма функции? Возьмем другое разбиение отрезка на частичные отрезки. Заново по точке и запишем сумму. Ясно, что вторая сумма будет отличаться от первой. Значит, интегральная сумма зависит, во-первых, от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и, во-вторых, от выбора точек в частичных отрезках.

Обозначим через - длину наибольшего частичного отрезка, Может оказаться так, что при интегральная сумма стремится к определенному числу, которое не зависит от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек в этих отрезках.

Определение: Если при существует конечный предел интегральной суммы , независимой от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора точек в этих частичных отрезках, то этот предел называется определенным интегралом функции по отрезку обозначается . Таким образом, по определению . Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке , число а – называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования. Из определения следует, что определенный интеграл есть число.