4.2. Связь между системами счисления

Одно и то же число может быть записано в различных системах счисления. Существуют правила, определяющие порядок перевода числа из одной системы счисления в другую.

Правило перевода чисел из двоичной системы в десятичную (перевод по степенному ряду) можно сформулировать следующим образом: все цифры числа и основание двоичной системы заменяются их десятичными эквивалентами; число представляется в виде суммы произведений степеней на значения соответствующих позиций; затем производится арифметический подсчет.

Например: переведем двоичное число 1010110,11 в десятичную систему счисления. Для этого выполним преобразования:

1010110,11₂ = 1  2 ⁶ + 1  2 ⁴ + 1  2 ² + 1  2 ¹ +1  2 ^–1 + 1  2 ^{– 2} = 86,75₁₀,

т.е. 1010110,11₂ = 86,75₁₀ .

Правила перевода чисел из десятичной системы в двоичную различны для целой и дробной частей числа. Эти правила сформулированы ниже.

Для перевода целого числа (или целой части смешанного числа) используется алгоритм последовательного деления исходного числа, а затем образующихся частных от деления на основание новой системы (т.е. на 2), причем действия производятся в старой (десятичной) системе. Деление прекращается, как только очередное частное от деления станет равным 0. Остатки от деления, выписанные в обратном порядке, образуют результат.

Например, десятичное число 11 в двоичную систему счисления переводится следующим образом: число 11 в десятичной записи делим на 2; остаток от деления запоминаем, а частное снова делим на два; процесс деления продолжается до тех пор, пока частное от деления не станет равным 0; двоичное число «склеивается» из остатков от деления, которые могут быть только нулями или единицами, причем остатки включаются в число в порядке, обратном тому, в каком они были получены (стрелкой показан порядок записи двоичных цифр). Собирая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим 1011:

т.е. 11₁₀=1011₂. Аналогично: 1₁₀=1₂, 2₁₀=10₂, 3₁₀=11₂, 4₁₀=100₂, 5₁₀=101₂, 6₁₀=110₂, 7₁₀=111₂, 8₁₀=1000₂, 9₁₀=1001₂, 10₁₀=1010₂, 11₁₀=1011₂, 12₁₀=1100₂, 13₁₀=1101₂, 14₁₀=1110₂, 15₁₀=1111₂ и т.д.

Для перевода дробной части используется алгоритм последовательного умножения на основание новой системы (2), действия производятся в старой (десятичной) системе, целые части полученных произведений дают запись результата.

Например, переведем десятичную дробь 0,875 в двоичную систему счисления. В данном случае результатом является двоичное число 0,111₂. Действительно:

0,111₂ = 02⁰ + 12 ^–1 + 12 ^–2  + 12 ^–3  = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875.

Деление естественным образом прекращается, когда дробная часть становится равной 0.

Но что будет, если попробовать перевести в двоичную систему, например, число 0,7? Когда в этом случае следует прекратить деление?

Этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,7₁₀. Так, за три шага мы получаем число 0,101₂, за четыре шага – число 0,1011₂, а за семь шагов – число 0,1011001₂, которое является более точным представлением числа 0,7₁₀ в двоичной системе счисления, и т.д. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.

Таким образом, видно, что от выбора системы счисления зависят точность представления чисел, удобство их обработки. Компьютеры работают с данными, которые закодированы определенным образом, следовательно, при разработке аппаратных средств вычислительной техники необходимо выбрать оптимальный способ кодирования данных.