12. Плоскость в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором.

1) Уравнение (1) определяет плоскость, проходящую через точку и имеющей нормальный вектор .

2) Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число буквой D, представим его в виде . Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

3) Если в уравнении плоскости ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду (1), где , , - суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости «в отрезках».

4) Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде , где , , - направляющие косинусы нормали плоскости, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой ; знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

6) Если три точки в одной плоскости, то они компланарные. Следовательно, можно получить уравнение плоскости через три точки: M₀M₁ M₀M M₀M₂ =0

M₀ (x₀ y₀ z₀), M₁ (x₁ y₁ z₁), M₀ (x₁ y₁ z₁)

Расстояние от точки до плоскости

Взаимное расположение плоскостей – если записаны в одной форме.

Если (в векторном виде), то они:

1) пересекаются

2) параллельны (но не совпадают)

3) совпадают

Если плоскости заданы уравнениями и то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

1)

2)

3)

Угол между плоскостями

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей или

13. Прямая на плоскости и в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)

В пространстве:

Прямая как линия пересечения двух плоскостей , при условии, что не имеют места равенства

Канонические уравнения прямой где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор.

Уравнения прямой по двум точкам

В координатах (параметрические уравнения):

Направляющий вектор такой прямой где

Взаимное расположение двух прямых

Если прямые заданы уравнениями и то они:

1) параллельны (но не совпадают)

2) совпадают

3) пересекаются

4) скрещиваются

Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( - знак отрицания условия):

1)

2)

3)

4)

Расстояние между двумя параллельными прямыми В координатах

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми В координатах

Угол между двумя прямыми

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых или

На плоскости:

Через нормаль и точку A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Общее уравнение Ax + By + C=0 ( > 0). Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

Уравнение прямой в отрезках где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Н ормальное уравнение прямой где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

В координатах (параметрические уравнения):

Каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой по двум точкам или или

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту или где b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

Расстояние от точки до прямой

Взаимное расположение двух прямых:

1. Пересекаются

2. параллельны (но не совпадают)

3. совпадают

Прямые и

1. пересекаются

2. параллельны

3. совпадают

Угол между двумя прямыми

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

Расстояние между параллельными прямыми