8. Скалярное произведение векторов (определение, свойства, приложение)

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

(a, b)=|a|·|b|·cosα (a, b).

Скалярное произведение (условие перпендикулярности векторов) векторов, можно выразить также формулой , или .

Из формулы следует, что , если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы перпендикулярны (в частности, , если или ).

Свойства:

1. ab=ba

2. α(ab)=(αa)b=a(αb)

3. α(a+b)=αa+αb

4. a˔b ↔ab=0

5. i, j, k – орты, ii=jj=kk=1, ij=ik=jk=0

6. aa=|a²|

7. a(a_x a_y a_z), b(b_x b_y b_z), ab=a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

8. cosα= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z / |a||b|

Приложение скалярного произведения – проверка перпендикулярности векторов (cosα=0)

9. Векторное произведение векторов (определение, свойства, приложение)

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:

1. Модуль вектора равен , где - угол между векторами ;

2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторов ;

3. Направление вектора соответствует правой тройке.

Правая тройка, если при взгляде с конца вектора с переход от а к b осуществляется против часовой стрелки.

Свойства:

1. [a,b]=-[b,a]

2. α[a,b]=[αa,b]=[a,αb]

3. [a,b+c]=[a,b]+[a,c]

4. a, b, с называются циклической системой, если не меняются местами ближайшие вектора, abc→bca→cab

5. [i, i]=0, [i, j]=k, [i, k]=-j, [j, i]=-k, [j, j]=0, [j, k]=i, [k, i]=j, [k, j]=-i, [k, k]=0

6. [a, a]=0, a||b↔[a, b]=0 – проверяется коллинеарность векторов

7. [a, b]=S параллелограмма = S двух треугольников, Sтр=1/2 Sпар=1/2|a|h

8. [a, b] = |i j k |

|a_x a_y a_z|

|b_x b_y b_z|

Приложение векторного произведения – проверка коллинеарности векторов

10. Смешанное произведение векторов (определение, свойства, приложение)

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .

Свойства:

1. abc=bca=cab

2. abc=-acb=-bac

3. |abc|=V параллелепипеда = 6V пирамид, если тройка правая, -V если левая

4. Если на векторах нельзя построить (a||b||c), то abc=0

5. abc=|a_x a_y a_z|

|b_x b_y b_z|

|c_x c_y c_z|

Приложение смешанного произведения – проверка компланарности векторов.

11. Соответствие между геометрическими образами и уравнениями.

В аналитической геометрии геометрические объекты (точки, линии, поверхности и т.д.) и их расположение на плоскости и в пространстве изучаются с помощью алгебры, т.е. аналитически. Это удается сделать с помощью введенного Декартом метода координат. Этот метод позволяет представить простейший геометрический объект (точку) в виде упорядоченной системы чисел, называемой координатами этой точки. Всякий другой геометрический объект рассматривается как множество точек, обладающих некоторыми свойствами. При переходе от одной точки к другой координаты меняются по определенной закономерности, т.е. являются переменными. Эта закономерность с помощью метода координат может быть аналитически выражена в виде уравнения или неравенства, связывающего переменные координаты каждой точки рассматриваемого геометрического объекта. И таким образом устанавливается соответствие между геометрическими объектами и уравнениями.

R² → x+y=2 → прямая

R³ → x+y=2 → плоскость

R² → x²+y²=4 → окружность

R³ → x²+y²=4 → цилиндр