Граничные условия
В магнитном поле постоянного тока выполняются следующие граничные условия:
(17.12)
На границе раздела двух однородных и изотропных сред, различных в магнитном отношении (различные r) равны тангенциальные составляющие векторов напряженности магнитного поля и нормальные составляющие магнитных индукций на границе раздела.
Условие (17.12) не выполняется, если на поверхности раздела двух сред протекает так называемый поверхностный ток. Под ним понимают ток, протекающий по бесконечно тонкому плоскому проводнику, положенному на границе раздела.
45. Выражение магнитного потока через циркуляцию вектора-потенциала (см. 44)
Магнитный поток, пронизывающий какую-либо поверхность:
(17.7)
На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть преобразован в линейный
(17.18)
Для определения магнитного потока, пронизывающего некоторую площадь (поверхность) s, необходимо подсчитать циркуляцию вектора потенциала по замкнутому контуру, на который опирается поверхность s.
Определение потока по (17.18) часто имеет преимущества по сравнению с определением потока через магнитную индукцию (17.7). Соотношением (17.7) можно пользоваться в том случае, когда известно значение в любой точке поверхности s, тогда как для вычисления потока с помощью соотношения (17.18) достаточно знать значение на контуре и не требуется значения в точках внутри контура.
Рассмотрим граничные условия для векторного потенциала.
.
(17.19)
46. Расчет магнитного поля одиночного проводника с током
Требуется рассчитать магнитное поле внутри и за пределами проводника (рис. 17.5). Это означает, что необходимо определить распределение напряженности и вектора-потенциала.
Рис. 17.5. К расчету магнитного поля одиночного проводника
Для расчета используем закон полного тока в интегральной форме
Рассчитаем циркуляцию вдоль окружности, центр которой совпадает с центром провода. При этом напряженность в любой точке этой окружности постоянна по модулю и совпадает с направлением элементарного участка dl.
Внутри
проводника (
)
.
Следовательно, внутри проводника напряженность магнитного поля определяется выражением
.
Максимальное значение напряженности магнитного поля имеет место на поверхности проводника
Вне
проводника (
)
закон полного тока можно записать в
виде
.
При этом распределение напряженности
происходит по закону
.
Распределение напряженности магнитного поля внутри и вне проводника показано на рис. 17.6.
Рис. 17.6. Распределение магнитного поля одиночного проводника
48. Передача энергии по коаксиальному кабелю
На рис. 18.2 показан отрезок коаксиального кабеля и расположенные относительно него составляющие электромагнитного поля.
Определим проекции вектора Пойнтинга в цилиндрической системе координат, так как вектор напряженности магнитного поля ориентирован по касательной к цилиндрическому проводнику с током, т.е. в цилиндрической системе координат имеет составляющую только , то вектор Пойнтинга не будет иметь такой проекции. При этом Пz=ErHα; Пr=EzHα.
Рис. 18.2. Отрезок коаксиального кабеля
Напряженность электрического поля в диэлектрике определяется зарядом и током
Напряжение между жилами кабеля
.
Следовательно, на поверхности жилы
По
закону полного тока
Тогда
(18.6)
Из формулы видно, что плотность потока энергии имеет наибольшее значение вблизи жилы (рис. 18.3):
(18.7)
Рис. 18.3. К определению плотности тока энергии
За пределами кабеля магнитного поля нет (H=0).
В пределах оболочки нет радиальной составляющей вектора поля, следовательно, нет потока.
Угловая и радиальная составляющие напряженностей имеются только в кольцевом сечении диэлектрика.
Следовательно, энергия в осевом направлении передается по зазору в кабеле, а проводники служат как направляющие для потока.
Радиальная составляющая вектора Пойнтинга на поверхности жилы
(18.8)
Полагая, что плотность тока энергии на поверхности жилы одинакова, найдем энергию
(18.9)
т.к.
Следовательно, радиальная составляющая вектора Пойнтинга определяет потери энергии в проводнике при протекании по нему тока.