Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде

Так же, как и в электростатическом поле, напряженность электрического поля в проводящей среде:

В неизменном во времени поле:

Если среда однородна и изотропна, т.е.  = const, то можно записать:

или

(16.9)

Поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.

Это поле является потенциальным, в нем в областях, не занятых источниками .

39. Общая характеристика задач расчета электрического поля в проводящей среде и методов их решения (см. 41)

Так же, как и задачи электростатики, задачи расчета электрического поля в проводящей среде можно классифицировать по характеру величины, которая определяется в результате расчета:

1. На задачи, у которых определяются точечные характеристики (плотность тока, потенциал).

2. На задачи, в которых находят интегральные характеристики поля, например, сопротивление между электродами или напряжение между какими-то точками.

В зависимости от того, что задано и что определяется, все задачи делятся на два типа:

1. В первом – заданы форма и расположение электродов (геометрия поля), свойства среды и интенсивность источников, создающих поле. Требуется найти либо точечные, либо интегральные характеристики поля.

2. Второй тип задачи является обратным по отношению к первому. Например: по заданной точечной характеристике поля, заданным форме, расположения электродов и свойствам среды найти интенсивность источников, создающих поле.

Задачи расчета электрического поля в проводящей среде могут быть решены:

1. Непосредственным интегрированием уравнений, описывающих поле.

2. Использованием аналитических решений для других статических невихревых полей.

3. Экспериментальным или графическим путем.

4. Методом зеркальных изображений.

5. Методом конформных преобразований.

40. Переход тока из среды с проводимостью 1 в среду

с проводимостью ₂. Граничные условия

Рис. 16.2. Поле на границе раздела двух сред

На рис.16.2 линия ОО есть граница раздела сред. Возьмем на границе раздела плоский замкнутый контур 1234. Составим циркуляцию вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41, длину которых обозначим dl. Пренебрежем составляющими интеграла вдоль коротких сторон

,

. (16.10)

Это соотношение совпадает с соотношением (13.23) на границе раздела двух диэлектриков.

На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей токов.

а б

Рис. 16.3. Определение нормальной составляющей поля

Выделим на границе раздела сред сплющенный параллелепипед (рис. 16.3а).

Поток вектора , втекающий в объем через нижнюю грань, равен ; поток вектора , вытекающий из объема через верхнюю грань – . Так как , то

(16.11)

Следовательно, при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью остаются непрерывными тангенциальная составляющая вектора напряженности поля и нормальная составляющая плотности тока .

. (16.12)