32. Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для матожидания этой св.

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю

{0, x<a

f(x)={c, a≤x≤b

{0, x>b

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.

M_x = ∫^b_axf(x)dx= ∫^b_a x/(b-a)dx = x²/(2(b-a))|^b_a=(a+b)/2

34. Вывести выражение для матожидания альтернативно распределенной СВ.

Используя ряд распределения альтернативной CВ

Х=(0 1)

(q p), 0 ≤p≤1, p+q=1, получаем:

МХ=0*q+1*p=p,

т.е. матожидание альтернативной CВ равно вероятности положительного исхода.

35. Вывести выражение для дисперсии альтернативно распределенной СВ.

Поскольку МХ = р, то

((0-р)² (1-р)²)

(Х-МХ)2=( )

( q p )

поэтому

DX=M(X-MX)²=p²q+q²p=pq, т.е. дисперсия альтернативной CВ равна произведению вероятностей положительного и отрицательного исходов.

36. Вывести выражение для матожидания СВ, распределенной по закону Пуассона

Поскольку СВ, распределенная по закону Пуассона является предельной по отношению к биномиальной, то матожидание первой является пределом матожидания последней, поэтому матожидание пуассоновской величины Mx = λ.

Тот же результат получается прямым счетом:

_{∞ ∞}

МХ=Σm(λ^m)/(m!)e^-λ=λΣ(λ^m-1)/((m-1)!)e^{- λ}= λe ^λe^{- λ}= λ

37. Вывести выражение для дисперсии СВ, распределенной по закону Пуассона

DX=lim npq = λ

n→∞

p→0

np→λ

DX=MX²-(MX)²= λ²+ λ- λ²= λ

Т.о. дисперсия пуассоновской СВ равна параметру λ

38. Вывести выражение для матожидания СВ, распределенной по геометрическому закону.

Находим прямым счетом:

МХ= ∑mpq^m-1=p∑mq^m-1= p∑(q^m)’_q =p(∑q^m)’_q=p(1/(1-q))’_q=p/(1-q)²=1/p,

^m=0

т.е. матожидание геометрической СВ обратно пропорционально вероятности положительного исхода

39. Вывести выражение для дисперсии СВ, распределенной по геометрическому закону

_{∞ ∞ ∞}

MX²=∑m²pq^m-1=∑m(m-1+1)pq^m-1=∑m(m-1)pq^m-1+∑mpq^m-1=pq∑(q^m)”_q+1/p=

=pq(∑q^m)”_q+1/p=pq(1/(1-q)”_q+1/p =(2pq)/((1-q)³)+1/p=2q/p²+1/p,

поэтому DX = MX²-(MX)²= (2q)/(p²)+1/p- -1/p²=q/p²

40. Числовые характеристики СВ, распределенных по биномиальному, геометрическому закону и закону Пуассона (значения матожидания и дисперсии)

Матожидание

Биномиальной СВ: МХ=np

Пуассоновской СВ: МХ=λ

Геометрической СВ: МХ=1/p

Дисперсия

Биномиальной СВ: DX=npq

Пуассоновской СВ: DX= λ

Геометрической СВ: DX=q/p²

41. В каких ситуациях на практике возникают биномиальное и геометрическое распределения

Биномиальное распределение.

Биномиальное распределение — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

Пусть проводится серия из N испытаний Бернулли. В каждом из которых некоторое событие А может появиться с вероятностью Р. СВ ξ – число появлений события А в данной серии испытаний.

ξ	0	1	…	k	…	n
P	c0np0qn-0	c1np1qn-1		cknpkqn-k		cnnpnqn-n

n

∑Pi = ∑ cnⁱpⁱq^n-i = (p+q)ⁿ = 1ⁿ = 1

i=0

Агентство Спортлото официально исп-ло и исп-ет именно биномиальное распределение для описания результатов игры. На этой основе происходит расчет денежных потоков, определение размера выигрышей и прочие бух. действия, в которых учитываются коп.

Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение — это распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Предположим, что проводится испытание Бернулли, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с вероятностью Р. Испытание прекращаются, как только событие А наступает. Обозначим через ξ – СВ – число испытаний в серии.

ξ	1	2	3	…	k	…
	p	qp	q2p	…	qk-1p	…

∞

∑Pi = p+qp+q²p+…= p/(1-q) = p/p = 1 i=1