- •1. Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо
- •Е сли появление события в непременно влечет за собой появление события а, то как в этом случае соподчинены противоположные им события а и в?
- •Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.
- •9. Приведите известные вам формулы комбинаторики, которые используются при непосредственном исчислении вероятности по ее классическому определению.
- •10. Приведите определение условной вероятности.
- •11. Зависимость и независимость двух событий (определение).
- •20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорема Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.
- •21. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •22. Функция плотности распределения вероятности и ее свойства.
- •23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.
- •24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •25. Дисперсия дискретной св и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •26. Математическое ожидание непрерывной cb и его свойства
- •27. Дисперсия непрерывной cв и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •28. Начальные и центральные моменты св. Выражение матожидания и дисперсии через моменты.
- •На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для мат.Ожид-я биноминально распр. Св.
- •На основе закона распределения альтернативно распределенной cв получить выражение для дисперсии биноминально распределенной св.
- •Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для матожидания этой св.
- •42. Предельным законом для какого распределения является распределение Пуассона. Какие значения может принимать св, распределенная по закону Пуассона.
- •43. Плотность распределения и функция распределения равномерной св, ее числовые характеристики.
- •44. Плотность распределения и функция распределения показательной св, ее числовые характеристики.
- •45. Плотность распределения и функция распределения нормальной cb (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.
- •46. Функция Лапласа. Ее свойства.
- •47. Вероятность попадания нормально распределенной cв на отрезок, правило «трех сигм».
- •49. Числовые характеристики св, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения матожидания и дисперсии)
- •50. Дайте определение совместной функции распределения двумерной св и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и приведите примеры их выполнения
- •Сформулируйте определение и напишите формулу для вычисления корреляционного момента (коэффициента ковариации) двух св. Докажите, что для независимых cв его значение равно нулю.
- •Доказать локальную предельную теорему Муавра-Лапласа.
- •Доказать интегральную теорему Муавра-Лапласа.
- •Доказать неравенство Чебышева.
- •59.Доказать теорему Чебышева.
- •60. Понятие генеральной совокупности, выборки из нее. Представление выборки в виде вариационного ряда. Определение вариационного ряда.
- •Эмпирическая функция распределения, ее свойства, способ построения по выборке.
- •Понятие оценок числовой характеристики или параметра св. Свойства оценок.
- •63. Нахождение несмещенной оценки генеральной средней (матожидания) св
- •Нахождение несмещенной и смещенной оценок генеральной дисперсии св.
- •Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.
- •Понятие точечных и интервальных оценок. Определения. Примеры.
- •68. Свойства точечных оценок параметров, несмещенность, состоятельность, эффективность (определения).
- •Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и неправленой выборочной дисперсии.
- •Выборочный коэффициент ковариации (формула).
- •Доказать, что выборочное среднее является состоятельной и несмещенной оценкой матожидания.
- •Доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии.
- •Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?
- •76. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при известной дисперсии (вывод).
- •Построение интервальной оценки (доверительного интервала) ( с надежностью γ) матожидания нормально распределенной cв при неизвестной дисперсии (вывод).
- •Интервальная оценка дисперсии cв по выборке при известном и неизвестном матожидании (формулы).
- •Вывести оценку требуемого объема выборки для построения доверительного интервала заданной длины для матожидания в случае нормального распределения.
- •Назначение и суть метода моментов и метода максимального правдоподобия.
- •Сформулируйте основной принцип статистической проверки гипотез.
- •Что такое ошибка 1-го рода.
- •83. Что такое ошибка 2-го рода.
- •84. Что такое критическая область.
- •90. Модель парной линейной регрессии, уравнение и основные вероятностные допущения
- •92. Виды нелинейных зависимостей, сводящихся к линейной регрессионной модели и соответствующие им предварительные преобразования исходных данных
20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорема Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.
Пусть Н1, Н2,… — полная группа событий, и А — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Нk , если в результате эксперимента наблюдалось событие А, может быть вычислена по формуле:
∞
P(Hk|A)=(P(Hk)P(A|Hk))/(ΣP(Hi)P(A|Hi)
i=1
Доказательство. По определению условной вероятности,
P(Hk|A)=(P(Hk)∩A)/P(A)= (P(Hk)P(A|Hk))/(ΣP(Hi)P(A|Hi)
21. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
Функцией распределения случайной величины ξ называется определенная для всех действительных значений Х, функция F(Х), значение которой равно вероятности, что СВ ξ будет меньше аргумента. F(x) = P{ ξ ≤ x}
Общие свойства функций распределения:
0≤F (x)≤1, перевернутая А х
F(x) - неубывающая функция
F (x1) ξ≤ F(x2), если x1<x2.
Пределы на бесконечности
lim Fξ(x) = 0, lim Fξ(x) = 1
x-> -∞ x->+∞
Р (ξ € [a;b)) = F (b) – F (а)
Для ДСВ: Р(ξ [a;b])=F(b) – F(а)+P(ξ=b)
22. Функция плотности распределения вероятности и ее свойства.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Плотностью распределения вер-тей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): f(x)= F’(x).
Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.
lim (F(x+Δx)-F(x))/ Δx=F’(x)=f(x)
Δx→0
Кривая распределения – кривая, изображающая плотность распределения случайных величин
F(x)=P(X<x)-P(-∞<X<x)=∫-∞x f(x)f(x) - связь функции распределения с функцией плотности
Основные свойства ф-ии плотности
1. f(x)>=0 , т.к. является производной от неубывающей функции распределения, т.е. f(x)= F’(x).
2. ∫-∞+∞f(x)dx = 1 - интеграл от бесконечных пределов функции плотности всегда равен 1.
Размерность функции плотности обратна размерности случайной величины.
23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.
Для дискретной случайной величины простейшей формой задания закона распределения является ряд распределения, представляющий собой таблицу, в верхней строке которой указаны возможные значения xi дискретной случайной величины X, а в нижней - соответственно вероятности pi того, что X примет значение xi. При построении ряда распределения необходимо помнить, что: 1. 0≤pi≤1, по свойству вероятности 2. ∑pi=1, так как события (X=x1), (X=x2)…составляют полную группу попарно несовместимых событий.