Определения
Пусть l — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.
-
(отрезок параметризации) — рассматриваем
часть кривой.
Пусть 
—
разбиение отрезка параметризации 
,
причем 
.
Зададим
разбиение кривой 
.
За 
обозначим
часть кривой от точки 
до
точки 
, 
.
Введем
мелкость разбиения отрезка
параметризации θ: 
.
Введем
набор промежуточных точек разбиения
отрезка параметризации l: 
.
Зададим
набор промежуточных точек разбиения
кривой 
.
Пусть
нам также даны 4 функции, которые
определены вдоль кривой l: 
, 
, 
, 
.
Рассмотрим 4 интегральные суммы.
1) Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:
.
2) Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:
,
,
.
Если 
,
то говорят, что функция f интегрируема
в смысле криволинейного интеграла
первого рода по кривой l,
а сам предел называют криволинейным
интегралом первого рода функции f по
кривой l и
обозначают 
.
Здесь 
—
дифференциал кривой.
Если 
, 
, 
,
то говорят, что функции P, Q и R интегрируемы
в смысле криволинейного интеграла
второго рода по кривой l,
а сами пределы называют криволинейными
интегралами второго рода функций P, Q и R по
кривой l и
обозначают
Сумму
криволинейных интегралов второго рода
функций P, Q и R также
называют криволинейным интегралом
второго рода вектор-функции 
и
обозначают:
.
Если
кривая l замкнута
(начало совпадает с концом), то в этом
случае вместо значка 
принято
писать 
.
25
Поверхностный интеграл первого рода [править]Определение
Пусть 
—
гладкая, ограниченная полная поверхность.
Пусть далее на
задана
функция 
.
Рассмотрим разбиение 
этой
поверхности на части 
кусочно-гладкими
кривыми и на каждой такой части выберем
произвольную точку 
.
Вычислив значение функции в этой
точке 
и,
приняв за 
—
площадь поверхности 
рассмотрим
сумму 
.
Тогда
число 
называется
пределом сумм 
,
если:
Предел
сумм
при 
называется
поверхностным интегралом первого рода
от функции 
по
поверхности
и
обозначается следующим образом:
Поверхностный интеграл второго рода [править]Определение
Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.
Для
определенности предположим сначала,
что поверхность задана явным
уравнением 
причем
точка 
изменяется
в области 
на
плоскости 
,
ограниченный кусочно-гладким контуром.
Пусть
теперь в точках данной поверхности
определена
некоторая функция
.
Разбив поверхность сетью кусочно-гладких
кривых на части
и
выбрав на каждой такой части
точку
вычисляем
значение функции
в
данной точке и умножим его на
площадь 
проекции
на плоскость
элемента
,
снабженную определенным знаком. Составим
интегральную сумму:
.
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от
,
распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом
(здесь 
)
напоминает о площади проекции элемента
поверхности на плоскость 
Если
вместо плоскости
спроектировать
элементы поверхности на плоскость 
или 
,
то получим два других поверхностных
интеграла второго типа:
или 
.
В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:
где 
суть
функции от 
,
определенные в точках поверхности
.
26
Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция
с
непрерывными частными производными
первого порядка 
.
Тогда справедлива формула
Грина
где
символ 
указывает,
что кривая (контур) C является
замкнутой, и обход при интегрировании
вдоль этой кривой производится против
часовой стрелки.
Если 
,
то формула Грина принимает вид
где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией
Ротором или вихрем векторного
поля 
называется
вектор, обозначаемый 
или 
и
равный
Формула Грина в векторной форме записывается в виде
Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат.
Формула Гаусса-Остроградского.
Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.
Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S1, заданную уравнением z = f1(x, y), S2 ( z = f2 (x, y) ) и S3 – цилиндрическую поверхность с образующей, параллель-ной оси Oz (рис.1).
Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) и вычислим интеграл
Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S1
cos(n, z) < 0, на S2 cos(n, z) > 0, a на S3 cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:
,
.
(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S1 и области D связаны соотношением dxdy = ΔS(-cos(n, z)) ). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:
Окончательный результат можно записать так:
Таким же образом можно получить соотношения
Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:
(15.1)
Воспользовавшись формулой 13.9, задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:
(15.2)
где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.
Дивергенция векторного поля.
Продолжим изучение характеристик векторных полей.
Определение 15.1. Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется
.
(15.3)
Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.
Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция харак-теризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.
Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (15.1) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля {P, Q, R}, а в правой – поток этого вектора через ограни-чивающую тело поверхность S:
(15.4)
Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы коор-динат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограни-ченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (15.4) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:
.
(15.5)
Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть определением, не зависящим от выбора координатной системы.
Формула Стокса.
Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами
, 
,
.
Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производны-ми первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ:
.
Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.2). Поэтому, используя формулу (10.8), получаем:
=
.
Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:
где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:
и подставим его в предыдущее равенство:
.
Тогда
=
Теперь
применим к интегралам, стоящим справа,
формулу (13.7) и перейдем к поверхностным
интегралам 1-го рода по поверхно-сти σ:
так
как 
.
Следовательно, окончательный результат
преобразований выглядит так:
=
.
При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.2).
Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотношения:
=
,
=
.
Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, уста-навливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориен-тации поверхности:
(15.6)
Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирова-ния по соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.
Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (13.9)), можно записать формулу Стокса в ином виде:
.
(15.7)
Ротор векторного поля.
Определение 15.2. Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:
.
(15.8)
Замечание 1. Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке, то есть наличие вращательных движений, так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой точке.
Замечание 2. Формула Стокса в векторной формулировке имеет вид:
,
(15.9)
то есть циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, натянутую на данный контур.
Замечание 3. Можно дать другое, инвариантное, определение ротора. Для этого рассмотрим произвольное направление п, исходящее из данной точки М, и окружим эту точку плоской площадкой σ, перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Приме-няя формулу Стокса, получим:
Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке, найдем в пределе, что
.
Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось, то есть вектор rot A не зависит от выбора координатной системы.
Формула Стокса
обход
контура 
(границы
поверхности S)
согласован с выбором стороны поверхности S.
Формула Стокса в символической форме
(
-
направляющие косинусы нормали,
соответствующей выбранной стороне
поверхности.
27
Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Обозначается
(в
русскоязычной литературе) или
(в
англоязычной литературе),
а также - как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:
Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное[1] поле:
Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле[2] вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.
Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).
Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:
дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
Оператор
дивергенции, применённый к полю 
,
обозначают как
или
.
Градие́нт (от лат. gradiens,
род. падеж gradientis —
шагающий, растущий) — вектор,
показывающий направление наискорейшего
возрастания некоторой величины 
,
значение которой меняется от одной
точки пространства к другой (скалярного
поля).
Например, если взять в качестве
высоту
поверхности Земли над уровнем моря, то
её градиент в каждой точке поверхности
будет показывать «направление самого
крутого подъёма». Величина (модуль)
вектора градиента равна скорости
роста
в
этом направлении.
Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.
Опера́тор
на́бла (Гамильтона) — векторный дифференциальный
оператор,
обозначаемый символом 
(набла)
(в Юникоде U+2207,
∇).
Для трёхмерного евклидова пространства
в прямоугольных декартовых
координатах[1] оператор
набла определяется следующим образом:
,
где 
—
единичные векторы по осям x, y, z.
Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа(см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).