Яды Фурье для четных и нечетных функций
|
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
=
=
=
0
,
где n=1,2,
...
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:
Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
,
где n=1,2,
...
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если
функция f(x)
разлагается в тригонометрический ряд
Фурье на промежутке
то 
,
где
,
,
,
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.
22
23
Двойной интеграл
Двойным
интегралом называют кратный интеграл
с 
.
.
Здесь 
—
элемент площади в рассматриваемых
координатах.
В
прямоугольных координатах: 
,
где 
—
элемент площади в прямоугольных
координатах.
Тройные интегралы имеют те же свойства, что и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)
I. Вычисление двойных интегралов с помощью двойного интегрирования.
Пусть функция f(x, y) непрерывна*) в области G. Если G прямоугольник P,
,
то при вычислении двойного интеграла,
имеет место формула
которая показывает, что порядок интегрирования можно менять.
Интеграл (1) представляет собой объём тела, ограниченного снизу прямоугольником P, сбоку - боковыми гранями прямой призмы, построенном на этом прямоугольнике, а сверху - той частью поверхности, которая вырезана этой призмой (рис. 1).
2.
Если функция f(x,
y) непрерывна
на множестве 
где 
и 
непрерывны
на отрезке [a, b] и 
на
[a, b]
(рис. 2), то
Правая часть в (3) называется повторным интегралом, то есть результатом последовательного вычисления сначала интеграла по y при фиксированном x, а затем интеграла по x от получившейся функции.
3.
Если функция f(x,
y) непрерывна
в области G (рис. 3), 
где
функции 
и 
непрерывны
на сегменте [c, d] и 
на
[c, d], то верно равенство
4. Если область G такова (рис. 4), что к ней применима и формула (3) и формула (4), то
Это равенство используется для перемены порядка интегрирования в повторном интеграле.
Области более сложного вида следует разбить на части, к которым применима формула (3) или (4).
Двойной
интеграл 
представляет
собой объём
цилиндрического бруса - тела, ограниченного сверху поверхностью z= f(x, y), с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси z, снизу - фигурой G на плоскости xy (рис. 5).
I. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.
1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T.
Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда
Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.
Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь
где P = [a, b; c, d] - проекция параллелепипеда T на плоскость xy.
Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.
2.
Пусть область T заключена
между плоскостями x
= a и x = b, причём
каждое сечение области T плоскостью 
представляет
собой квадрируемую фигуру G(x)(рис.
1). Тогда
II.
Замена переменных в тройном
интеграле 
состоит
в переходе от переменных x,
y, z к
новым переменным u,
v, w по
формулам
24