40. Выпуклость графика функции и точки перегиба

Пусть функция f задана на интервале (a,b), и a<x1<x2<b. Проведём прямую через точки A=(x1,f(x1)) и B=(x2 f(x2)), лежащие на графике ф-ции А (уравнение прямой y=(f(x2)*(x-x1)+f(x1)*(x2-x)) / x2-x1) . пусть y=L(x)

Функция а называется вупуклой вверх на интервале (a,b), если, каковы бы ни были точки x1 и x2, a<x1<x2<b, для любой точки x интервала (x1,x2) выполняется неравенство L(x)<=F(x). - точки хорды расположены не выше точек графика ф-ции F.

Если же для всех точек (x1,x2) выполняется противоположное неравенство L(x)>=F(x) , то функция а называется выпуклой вниз на интервале (a,b) – точки хорды расположены не ниже точек графика ф-ции F.

Достаточные условия строгой выпуклости.

Если вторая производная ф-ции (F’’) отрицательна (положительна) во всех точках интервала, то функция строго выпукла вверх (соотв. Строго выпукла вниз) на этом интервале

Определение точки перегиба.

Пусть функция F дифференцируема при x=x0 и пусть y= L(x)- уравнение наклонной касательной к графику ф-ции f в точке (x0,f(x0)). Если разность f(x) – L(x) меняет знак при переходе через точку x0, то x0 называется точкой перегиба функции f.

Необходимое условие точки перегиба.

Если в точке перегиба функции сущ-ет вторая производная (F’’) , то она равна 0

1) Достаточное условие точек перегиба.

Если функция F дифференцируема в точке x0, дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки и её вторая производная меняет знак при переходе аргумента через точку x0, то x0 является точкой перегиба функции

2) Достаточное условие точек перегиба.

Если в некоторой точке вторая производная функции =0, а третья не равна 0, то эта точка является точкой перегиба

41. Асимптоты графика функции. Вертикальные наклонные асимптоты

Определение.

Если функция а задана для всех x>a (x<a) и существует такая прямая y=kx+b, что lim {f(x)-(kx+b)}=0 x>>бесконечности,

(соответственно при x>> - бесконечности), то эта прямая называется асимптотой функции f при x>>бесконечности (соответственно при x>> - бесконечности).

Асимптоты вида y=kx+b называют наклонными асимптотами

Вертикальные асимптоты

Если для функции а выполнено хотя бы одно из условий lim f(x)=бесконечность (x>>x0 - 0) или lim f(x)=бесконечность (x>>x0 + 0), то прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой ф-ции F.

Чтобы найти вертикальные асимптоты ф-ции f, надо найти такие значения x0, для которых выполняются одно или оба условия

42. Схема исследования графика функции.

Найти:

1. обл. определения ф-ции

2. точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

3. вертикальной асимптоты

4. т. пересечения графика с осями координат

5. симметрия графика (чет./нечет):

• f(-x)=x симметрична относительно осей

• f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

6. периодичность

7. наклонная и горизонтальные асимптоты

8. вычислить y`

9. интервалы монотонности

10. точки экстремума

11. наибольшее и наименьшее значение

12. вычислить y``

13. выпуклость, вогнутость

14. точки перегиба

15. нанесение на график.