22)Понятие производной функции. Геометрическая и физическая интерпретация производной.

Определение: Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Понятие: Пусть функция определена на интервале . Зафиксируем произвольное из этого интервала и зададим приращение аргумента такое, что точка по-прежнему принадлежит интервалу . Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число: Составим отношение: . Здесь фиксировано, а будем считать переменным.

Физический смысл производной. Приведем пример из механики: если - время, – координата точки на прямой, - закон движения точки, то – мгновенная скорость этой точки.

Геометрический смысл

На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

23)Необходимое условие существования производной.

Необходимым условием является непрерывность в точке.

Теорема: если функция имеет в некоторой точке x производную, то - непрерывна в этой точке.

Доказательство: По условию существует в точке x , то есть или, иначе . Таким образом функция как функция аргумента (при фиксированном x) – бесконечно малая при .Обозначим эту функцию :

(1)

Здесь

Умножив обе части равенства(1) на , получим:

Устремим в последнем равенстве к нулю: (оба выражения в скобках бесконечно малые функции)

Итак : в точке x , но это и есть разностная форма непрерывности в точке x. Теорема доказана.

24)Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Правила дифференцирования:

25)Производные степенной, логарифмической и тригонометрических функций.

26)Обратная функция. Производная обратной функции. Производные показательной функции и обратных тригонометрических функций.

Обратная функция. Пусть функция задана на множестве Х и имеет множество значений Y , причем отличные от соответствуют различные . Будем считать Y областью определения новой функции и пусть она устанавливает соответствия между теми же парами чисел (х,у) , что и ,т.е , то . Функция называется обратной по отношению к

Производная обратной функции

Пусть - непрерывная функция, монотонная на интервале . Функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть  -- фиксированная точка и

  -- точка, ей соответствующая. Тогда.

        Теорема: Пусть функция имеет в точке производную Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле:

=

        Доказательство.     Дадим аргументу приращение , такое что , и рассмотрим соответствующее приращение , определяемое равенством . Тогда, очевидно, .; при этом , а из монотонности функции следует, что . Поскольку как функция , так и функция непрерывны, то условия и эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом :

что мы и хотели доказать.

 Производные показательной функции и обратных тригонометрических функций. 

27)Производная сложной функции. Логарифмическая производная.

Производная сложной функции

Пусть x=x(t)- функция, дифференцируемая в точке  , y=f(x) - функция, дифференцируемая в точке  , причем  =x( ) . Тогда y=f(x(t)) - сложная функция независимого переменного t, дифференцируема в точке  и ее производная в этой точке вычисляется по формуле  .

Обычно f называют внешней функцией, а x - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Пример производной сложной функции

Найти производную функции y = (2x³ + 5)⁴.    Решение: Обозначим 2x³ + 5 = u ; тогда y = u⁴. По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y' = (u⁴)'_u (2x³+5)'_x = 4u³(6x²) = 24x²(2x³ + 5)³ .

Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная от логарифма этой функции:

( ln y)' = y'/y. Её применение значительно упрощает вычисление производных некоторых функций (например, сложнопоказательных).

Пример. Вычислить производную функции

пользуясь формулой, вытекающей из правила дифференцирования сложной функции:

Решение.

Логарифмируя левую и правую части, получим ln y = 1/7 sin 4x + 2/7 ln(x³ + 6x-1) - 4/7 ln(x⁴ – 5x² + 3),

дифференцируем обе части:

откуда получаем:

28. Производные функции, заданных неявно и параметрически.

Определение: Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: или

Пр-я от неявно: Пусть уравнение определяет y как неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно y’;

б) из полученного уравнения выразим y’.

Пример

Пр-я от параметрически: Пусть функция задана параметрическими уравнениями , тогда или

Пример

29. Дифференциал, геометрическая интерпретация дифференциала.

Определение: Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная по чась приращения, т.е.

Дифференциал обозначается . Для симметрии пишут также вместо формула в результате принимает вид: .

Приращение можно представить в виде: , где - линейная функция , а стремится к нулю при , быстрее чем .

Геометрический смысл:

Из геометрического смысла производной , поэтому , таким образом величина отрезка - это и есть дифференциал . При малых , приближенное равенство позволяет вычислять значения функции.

30. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть дана сложная функция , дифференциал равен: .

Если применить формулу вычисления сложной функции, имеем ,

Но - это есть дифференциал следовательно

Свойство инвариантности формы первого дифференциала: Сравнивая полученные 2 формулы видим, что дифференциалравен производной этой функции, умноженной на дифференциал аргумента, как и в случае, когда аргумент является независимой переменной, так и в случае когда аргумент является дифференцируемой функцией некоторой другой переменной

31. Производные высших порядков. Вторая производная функции, заданных неявно и параметрически.

Производная высших порядков: Производная функции , определенной и дифференцируемой на , представляет собой так же функцию, определенную на . Может оказаться что эта функция также имеет производную на , тогда эта производная называется второй производной

Аналогичным образом определяются производные последующих порядков

Пример

Вторая производная от функции заданной неявно:

- уравнение определяет y как неявную функцию от х.

а) определим

б) продифференцируем по х левую и правую части равенства

в) заменяя через получим: и т.д.

Вторая производная от функции заданной параметрически:

Пример:

32. Дифференциалы старших порядков. Случаи простой и сложной функций.

Дифференциал , в свою очередь является функцией x, которая может оказаться дифференцируемой. Дифференциал этой функции и называется вторым дифференциалом и обозначается

Случай простой функции (независимой): - общая закономерность.

Случай сложной функции (зависимой):

Таким образом дифференциал не обладает свойством инвариантности.