16. Алгебраические критерии устойчивости Гурвица и Рауса

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при a_n>0 были положительны все n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения составленного по определенному закону: по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения начиная с n-1

Столбцы матрицы заполняются вверх от главной диагонали коэффициентами с убывающими индексами, вниз от главной диагонали – коэффициентами с возрастающими индексами. Коэффициенты с индексами больше n и меньше 0 заменяются нулями. Для нахождения определителя берется n первых строк и столбцов матрицы коэффициентов.

Если все определители больше 0 – системы устойчива.

Если меньше нуля – система не устойчива.

Необходимое и достаточное условие устойчивости:

Необходимое условие устойчивости состоит в положительности всех коэффициентов характеристического уравнения системы.

Критерий устойчивости Рауса.

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно чтобы при a_n>0 были положительными все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса, составленной по следующему правилу:

Вспомогательный коэффициент	Номер строки	Номер столбца
		1	2	3
	1
	2
	3
	i

17. Частотный критерий устойчивости Михайлова

Он является частотным критерием и позволяет судить об устойчивости замкнутой или разомкнутой системы по виду годографа характеристического вектора соответствующей системы.

Перейдем к частотной функции характеристического многочлена, заменив p на jw:

Критерий:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты в интервале от 0 до ∞, начинаясь в точке на вещественной положительной полуоси последовательно обходил против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не пересекая начало координат.

2-я формулировка:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ изменение фазы частотной функции характеристического уравнения: Свойства чередования корней.

Для устойчивости системы корни должны чередоваться.

18. Критерий устойчивости Найквиста. Особенности применения для астатических систем

Относится к частотным критериям и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду годографа АФХ разомкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы –

Передаточная функция разомкнутой системы –

Разомкнутая система в общем случае может быть не устойчива. Но если она устойчива в замкнутом состоянии, то этого достаточно для ее работоспособности.

(-n+2l)π/2= l_*π

Для устойчивости замкнутой линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞, изменение фазы частотной функции D(jw) равной 1+W(jw) равнялась l_*π, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Вспомогательную частотную функцию W(jw) на 1 отличающуюся от амплитудно фазовой характеристики разомкнутой системы можно рассматривать как АФХ при смещении оси ординат на -1.

На практике такого смещения не делают, а рассматривают изменение фазы функции D(jw) как изменение фазы вектора, проведенного из точки с координатами (-1;j₀) к годографу АФХ разомкнутой системы.

При изменении частоты до ∞ конец этого вектора скользит по годографу АФХ разомкнутой системы.

Формулировка критерия:

1) Общий случай: для устойчивости замкнутой системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение фазы вектора проведенного из точки (-1;j₀) к годографу АФХ разомкнутой системы при изменении частоты в интервале от 0 до ∞ было равно l_*π, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

2) Частный случай 1: если в разомкнутом состоянии система устойчива, тогда для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы не охватывал точку (-1;j₀)

3) Частный случай 2: Особенности применения критерия Найквиста для астатических систем.

П ри оценке устойчивости астатических систем необходимо учитывать фазовый сдвиг определяемый левыми корнями характеристического уравнения, чтобы исключить влияние интегрирующих звеньев необходимо при w>0 достроить АФХ разомкнутой системы дугой ∞-о большого радиуса ν_*π/2 против часовой стрелки, где ν – порядок астатизма системы – число интегрирующих звеньев. Далее применяем критерий Найквиста в обычной интерпретации.

На рисунках 3,19 и 3,20 запас устойчивости.