17.Свойства дифференциала.

Дифференциалом ф-ии наз-ся линейная относит-но х часть приращения ф-ии, равная поизведению производ на приращ аргумента… dy=yx

1.d(c)=0,

2.d(u+v)=du+dv,

3.d(uv)=duv+dvu,

4.d(u/v)=(vdu-udv)/v²

5.Св-во инвариантности (неизменности): диф-ал всегда = произведению производна диф-ал аргумента независимо от того простостым или слож явл-ся аргумент.

18.Применение дифференциала к приближенным вычислениями.

Дифференциалом ф-ии наз-ся линейная относит-но х часть приращения ф-ии, равная поизведению производ на приращ аргумента… dy=yx

f(x_o+x)f(x_o)+f(x_o)*x, dxx. Примеры: вычислим приближенно а). √26: x_o=25, x=1, f(x_o)=√x₀ =√25=5, f(x_o)=(√25)=1/2(√25)=1/10, √26√25

+1*0,15+0,15,1

б) sin31⁰: x_o=30⁰, x=1⁰, 1⁰=1/2п= =1/6,28 f(x_o) = sin30⁰ = 1/2, f(x_o) = (sin30⁰) = cos30⁰ = (√3)/2, sin31⁰  sin(30⁰+1⁰)  1/2+(√3)/2*1/6,280,64

19.Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

Производной ф-ии в данной точке наз-ся предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0, если этот предел сущ-ет и конечен. Ф-ия наз-ся дифференцируемой в точке х_о. lim_х0у/х=f( х_о).

Дифференциалом ф-ии наз-ся линейная относит-но х часть приращения ф-ии, равная поизведению производ на приращ аргумента… dy=yx

Если y=f(x) дифферен-ема в точке, то она имеет производ в этой точке, к-ая также явл-ся ф-ией от х и также может быть продиф-ана. Производной порядка (II производной) f(x) наз-ся производная от производной (f(x)) или d²y/dx². Аналогично опред-ся III и тд производные. Для обознач-ия производных порядка выше 3-х используются арабские цифры в скобках или римские цифры(f⁽⁴⁾(x), f^iv(x)).изводные n-ого порядка наз-ся производная от производного порядка n=1: y⁽ⁿ⁾(x)=(y^(n-1)(x)). Например, найти 2-ую производную y=sin²3x: y=2sin3xcos3x*3=6sin3xcosx=3sin6x, y=3cos6x*6=18cos6x.

Правило Лопиталя: если ф-ии f(x) и g(x) диф-емы в нек-ой окрестности т.А и g(x)0в нек-ой окрестности т.А и lim_xaf(x)=lim_xag(x)=0, то lim_xaf(x)/g(x)=lim_xaf(x)/g(x). Правило Лопиталя расспрос-ся на раскрытие неопределенности вида [∞/∞] Примеры: 1).lim_x0 (e2x-1)/x= =[0/0]=lim_xa2e^2x=2, 2). lim_x∞lnx/x= =[∞/∞]=lim_x∞1/x=1/∞=0

20. Возрастание и убывание функции.

Числовая фу-ия Y=f(x) называется монотонно возраст-ей (убыв-ей) на множестве А входящ. D(f), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение фу-ции. Для любого X1 : X2 Є A входит D(f) : X1 > X2 => f(X1) > f(X2 ) (f(X1) < f(X2 ) )

Теор1 Если дифференцированная фу-ия ↑ (↓ ) на некотором интервале, то в каждой точке этого интервала, производная этой фу-ии не отрицательна (не положительна)

Док-во: (для ↑ фу-ии) Пусть у=f(x) дифер (а;в). Возьмем произвольную точку Xo Є (a;b) и дадим в ней аргументу преращение ∆x>0 , так чтобы Xo + ∆X (a;b)

Фу-ия соответственно получит преращение ∆У

Теор 2 Если производная фу-ции на некотором промежутке не отрицательна (не положительна), то на этом промежутке фу-ия ↑ (↓ )