6. Признаки существования пределов.
Число А наз-ся пределом ф-и у=f(x), если для любого сколь угодно малого положительного числа ɛ сущ-т положит число такое, что для всех х удовлетворяющих неравенству |х-а|< будет выполняться неравенство |f(х)-А|<ɛ
Теор1. «о двух милиционерах». Если ф-ия у=f(x) заключена м/у 2 ф-ми у=φ(x) и у=ψ(х) т.е. выполняются неравенства φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(х) для любого х, причем эти ф-ии имеют одинаковый предел, то сущ-ет предел ф-ии f(x) при х→а равн этому же значению
Теор2. если ф-ия у=f(x) монотонно возрастает (убывает) в нек-ой окрестности т. а и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел при х→а.
7. Первый замечательный предел, второй замечательный предел.
Число А наз-ся пределом ф-и у=f(x), если для любого сколь угодно малого положительного числа ɛ сущ-т положит число такое, что для всех х удовлетворяющих неравенству |х-а|< будет выполняться неравенство |f(х)-А|<ɛ
Предел отношения sin б.м. дуги к самой выраженной в радианах = 1.
Док-во:для док-ва р/м окружность радиуса R с центром О.
Пусть ОВ – подвижный радиус образующий угол х с осью ОХ. Из геометр соображ видно, что площадь ∆ВАО меньше площади сектора ВАО и меньше площади ∆САО. Площадь ∆ВАО=1/2 ОВ*АО*sinx=1/2 R2 sinx.
П
лощадь
сектора ВАО=1/2 ОВ*АО*х
Площадь ∆САО=1/2 АС*АО=1/2АО*АО*tgx=1/2 R2 tgx
½ sinx R2 <1/2OB*AO*x<1/2 R2 tgx
1< x/sinx < 1/cosx или cosx < sinx/x <1
т.к. ф-ии cosx и sinx/x четные, то полученное нерав-о справедливы и при –π/2 < x < 0/ переходя к пределу при х→0, получим lim x→0 cosx = 1. lim x→0 1 = 1 по теореме о двух милиционерах получаем, что предел при х→0 при sinx/x так же = 1.
Второй замечательный предел.
Предел послед-ти (1 + 1/n)n при n→∞ = числу е (е=2.7182), т.е. limn→∞ (1 + 1/n)n = е или lim α→0 (1 + α)1/ α = e
второй замечательный предел раскрывает неопределенности 1∞
8. Непрерывность функции в точке.
Пусть ф-я у=f(x) определена в нек-ой окрестности точки х0.
1.ф-я у=f(x) наз-ся непрерывной в т х0 , если для любого ɛ сколь угодно малого сущ-ет ∆>0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х-х0|<∆, будет выполняться неравенство |f(x)-f(х0)|<ɛ.
2.ф-я у=f(x) наз-ся непрерывной на множестве АR, если она непрерывна в каждой точке множества А.
сравнивая опред-ие 1 с опред-ем предела ф-ии, можно получить, что ф-я у=f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда ее предел при х→ х0 равен значению ф-ии в этой точке: lim x→х0f(x)=f(х0)
3.приращением аргумента наз-ся разность 2-х значений переменной х и обозначается ∆х. Приращением ф-ии, соответствующим данному приращению аргумента, наз-ся разность 2-х значений ф-ии от соответствующих аргументов и обознач-ся ∆у: ∆х = х – х0, ∆у = f(x) – f(x0).
Из определения 1 следует: для любого ɛ>0 сущест. ∆>0, для |х-а|<∆ будет выполняться |∆у|<ɛ, т.е. lim∆x→0 ∆y=0.
Таким образом, ф-я непрерывна в точке тогда и только тогда, когда малому приращению аргумента соответствует малое приращение ф-ии.
9.Свойства функций, непрерывных на множестве.
1.ф-я у=f(x) наз-ся непрерывной в т х0 , если для любого ɛ сколь угодно малого сущ-ет ∆>0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х-х0|<∆, будет выполняться неравенство |f(x)-f(х0)|<ɛ.
2.ф-я у=f(x) наз-ся непрерывной на множестве АR, если она непрерывна в каждой точке множества А.
Теор1. сумма и произведение конечного числа непрерывных на нек-ом множестве ф-ий, есть ф-я непрерывная на этом множ-е.
Теор2. частное от деления 2х непрерывн на множ-е ф-й есть ф-я непрерывная во всех точках, в к-ых знаменатель ≠0.
Теор3(Вийельштрасса).Всякая непрерывная на замкнутом огранич-ом множ-е ф-я достигает на нем своего наиб-его и наим-его значения.
Теор4. если ф-я у=f(u) непрерывна в т. u0 , а ф-я u=φ(x) непрерывна в т. u0 =u (x0), то сложная ф-я f(φ(x)) непрерывна в т. x0 lim x→x0 f(φ(x))=f(lim x→x0 φ(x)