- •Предмет, метод и задачи статистики:
- •Предмет статистики
- •Статистическая совокупность и статистический показатель Статистическая совокупность
- •Статистический показатель
- •Понятие и формы статистического наблюдения
- •Понятие и виды статистического наблюдения
- •Виды статистического наблюдения
- •Понятие и способы статистического наблюдения
- •Способы статистического наблюдения
- •Контроль статистического наблюдения
- •Понятие, виды, этапы, программа и план сводки Понятие, виды и этапы сводки
- •Программа и план сводки
- •8.Понятие и виды групповых данных
- •9.Проведение первичной и вторичной группировки
- •Вторичная группировка
- •10.Понятие и классификация статистических показателей
- •11.Абсолютные и относительные показатели
- •Относительные показатели
- •12.Функции статистических показателей
- •13.Статистический ряд распределения: понятие, виды, характеристики Статистические ряды распределения
- •14.Статистические графики
- •15.Понятие средней величины. Средняя арифметическая и её свойства
- •Средняя арифметическая и ее свойства
- •16.Понятие средней величины. Виды средних и их соотношение
- •17. Понятие средней величины. Структурные характеристики.
- •18.Показатели размера вариации
- •19. Показатели асимметрии и эксцесса распределения
- •20. Понятие и причины использования выборочного наблюдения
- •Виды и схемы отбора
- •21. Ошибка выборки
- •22. Определение объёма выборки. Распространение данных выборочного наблюдения на генеральную совокупность
- •Распространение данных выборочного наблюдения на генеральную совокупность
- •23. Понятие рядов динамики динамики. Показатели изменения уровней ряда динамики. Средние показатели динамики.
- •. Показатели динамики
- •Средние показатели динамики
- •24. Анализ основной тенденции в рядах динамики
- •25. Понятие рядов динамики. Измерение устойчивости в динамике
- •Измерение устойчивости в динамике
- •26. Понятие и виды индексов. Индивидуальные индексы
- •Индивидуальные индексы
- •27. Понятие и виды индексов. Агрегатные индексы
- •Агрегатные индексы
- •28. Понятие и виды индексов. Индексы средней величины
- •Индексы средней величины
- •29. Понятие статистической гипотезы
- •30. Теоретические кривые распределения
- •31. Проверка гипотез о характере распределения
- •32. Основные виды взаимосвязей между показателями. Показатели взаимосвязи качественных переменных
- •11.2. Показатели взаимосвязи качественных переменных
- •Показатели взаимосвязи количественных переменных
- •33. Основные виды взаимосвязей между показателями. Показатели взаимосвязи качественных переменных см 32 вопрос.
- •34. Определение параметров парной линейной регрессии
- •35. Оценка надёжности параметров парной линейной регрессии
15.Понятие средней величины. Средняя арифметическая и её свойства
Средняя величина – обобщающая количественная характеристика однородной совокупности явлений по определенному признаку. Характеризует величину изучаемого признака, приходящуюся на единицу совокупности.
Признак, по которому находится среднее, называется усредняемое. Величина усредняемого признака у каждой единицы совокупности – индивидуальное значение.
Метод средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака единиц наблюдения (x1, x2,…,xn) некоторой уравненной величиной .
Средняя величина должна быть рассчитываема для количественно-однородной совокупности. Это требование состоит в том, что среднее нельзя применить к таким совокупностям, отдельные части которых подчинены различным законам развития величин признака.
Средняя арифметическая и ее свойства
Средняя арифметическая является самой распространенной из средних, применяемых в социально-экономическом анализе. Средняя арифметическая имеет 2 разновидности – простую и взвешенную.
Средняя арифметическая простая рассчитывается по индивидуальным величинам одного и того же вида:
,
где x1, x2, …, xn – индивидуальные значения признака (варианты), n – число индивидуальных величин.
Применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается одинаковое число раз, т.е. средняя рассчитывается по группированным единицам совокупности.
Пример 6.1. Вычислить средний возраст выпускника ВУЗа, возраст которого: 24, 22, 25, 24, 25, 24, 22, 22, 24, 26 лет.
Расчёт по средней арифметической простой:
года.
Чаще отдельные значения исследуемой совокупности встречаются не один, а много, причем неодинаковое число раз, т.е. представляют собой ряд распределения. В этих случаях рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную:
,
где fi - частота (вес) повторения i-й варианты.
Пример 6.2. Для предыдущего примера сгруппируем возраст выпускников по их числу.
Возраст, xi |
Число выпускников, fi |
Сумма возрастов, xi·fi |
22 24 25 26 |
3 4 2 1 |
66 96 50 26 |
Сумма |
10 |
238 |
.
Также часто группировочные признаки представлены не одной величиной, а в определенных интервалах, такие ряды называются интервальными. Средняя арифметическая интервального ряда рассчитывается следующим образом:
,
где - середина i-го интервала, - верхняя граница i-го интервала, - нижняя граница i-го интервала, fi - частота (вес) i-го интервала.
Пример 6.3. Распределение рабочих предприятия по возрасту следующее
Группы рабочих по возрасту, лет |
Число рабочих, fi |
Середина интервала, |
|
До 20 |
48 |
18,5 |
888 |
20-30 |
120 |
25 |
3000 |
30-40 |
75 |
35 |
2625 |
40-50 |
62 |
45 |
2790 |
Старше 50 |
54 |
57,5 |
3105 |
Итого |
359 |
- |
12408 |
Минимальный возраст в первом интервале можно считать 17 (выпускники техникумов), максимальный возраст в последнем интервале – 65 (5 лет после пенсионного возраста мужчин). Тогда средний возраст рабочих составит
лет.
Свойства средней арифметической:
Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин.
Если xi=yi+zi, то
.
Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равна 0.
Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число, то средняя уменьшится или увеличится на то же число.
Если все варианты ряда умножить или разделить на одно и то же число, то средняя уменьшится или увеличится во столько же раз.
Если все частоты разделить или умножить на одно и то же число, то средняя не изменится.
Это свойство даёт возможность частоты заменять их удельными весами
,
где р - удельный вес, выраженный в процентах.
Если удельный вес выражается в долях, то .