§ 8. Пераўтварэнне падобнасці.

16 Няхай k – гэта дадатны сапраўдны лік. Разгледзім адлюстраванне p плоскасці на сябе па

_{M '  p(M ),}

Закону:

_

_ ^{N '  p( N )}

 M ' N '  k  MN

Для любых пунктаў M і N плоскасці. Яно называецца пераўтварэннем падобнасці або проста падобнасцю плоскасці. Лік k называецца каэфіцыентам падобнасці.

_{Прыклады:}

_{1) k=1 тады}

_{M ' N '  MN}

_{і падобнасць з’яўляецца рухам. Значыць рух –}

гэта прыватны выпадак падобнасці.

_k

^{2) Пры гаматэтыі} H _s

M ' N '  k  MN  M ' N

 k  MN

. Значыць гаматэтыя

з’яўляецца падобнасцю з каэфіцыентам k .

_{Абазначым праз p падобнасць з каэфіцыентам k. Тады}

_{M ' N '  k  MN}

_{, дзе}

M '  p(M ), N '  p( N )

для любых пунктаў M і N плоскасці.

_k

^{Возьмем на плоскасці адвольны пункт S і разгледзім гаматэтыю} H _s ^{. Калі}

H

_{M " } ^k _{(M )}

^S

_{і N " } ^k _{( N )}

H

^S

, то

M " N"  k  MN  M " N"  k  MN

S

₁

. Адсюль маем

M ' N '  M " N"

. Відавочна, што

^{M '  p } H ^{k (M ")}

для любога пункта M. На падставе

папярэдняга маем, што пераўтварэнне

₁

S

^{F  p  H k}

з’яўляецца рухам. Таму

^{p  F } _{H S} ^.

k

Такім чынам, падобнасць з каэфіцыентам k есць кампазіцыя гаматэтыі з тым жа

каэфіцыентам k і руху. З гэтага вынікае, што пры падобнасці захоўваецца стасунак, у

якім пункт дзеліць адрэзак, а таму адрэзак адлюстроўваецца ў адрэзак, прамень у прамень, прамая ў прамую, паўплоскасць у паўплоскасць, вугал у роўны яму вугал, паралельныя прамыя ў паралельныя.

Ортаўнармаваны рэпер

R  (O, i, j)

пераходзіць у рэпер

^{R'  (O ' , e}₁ ^{', e}₂ ^')

такі, што

_{' ' ' '}

^e₁ ^{ e}₂

^{і e}₁

^{ e}₂

 k ^.

_{Так як захоўваецца стасунак, у якім пункт дзеліць адрэзак, то калі ў рэперы R}

_{M ( x, y) ,}

то p(M )  M ' ( x; y)

_{Відавочна, што}

і ў рэперы R’

1

_{ e}^' _{ k  (cos  i  sin   j ),}

_

2

^_^e'

 k

 ( sin   i

 cos  j )

_{Дзе лік   1 , калі рэперы R і R’ аднолькавай арыентацыі і}

_{  1 , калі яны процілегла}

_{арыентаваны. Абазначым каардынаты пункта}

_{M '  p(M )}

_{у першапачатковым рэперы R}

_{праз ( x'; y' )}

_{. На падставе формул пераўтварэння каардынат для пункта M’ маем}

_x'  k  (x  cos  y  sin  )  x₀ ,

_

 ^{y'  k  (x  sin   y  cos )  y}0

Выконваецца і адваротнае. Таму гэтыя формулы з’яўляюцца аналітычнымі выразамі падобнасці.

§ 9. Група пераўтварэнняў падобнасці плоскасці і яе падгрупы.

_{Абазначым праз  мноства ўсіх пераўтварэнняў падобнасці плоскасці. Калі}

падобнасці p і q маюць каэфіцыенты k₁

і k₂

, то кампазіцыя

_1

p  q

з’яўляецца

₁₇ ^{падобнасцю з каэфіцыентам}

^k₁ ^k ₂

. Адваротнае пераўтварэнне

p есць падобнасць з

_{каэфіцыентам} ¹

^k₁

. Значыць, калі

p, q  

, то q  p  

і калі

p  

, то

p ^1   .

Такім чынам, мноства ўсіх пераўтварэнняў падобнасці з’яўляецца групай і называецца групай падобнасцей плоскасці. Велічыня вугла – гэта асноўны яе інварыянт.

_{Калі існуе падобнасць p, такая, што}

_{'  p()}

_{, то дзве фігуры  і '}

_{называюцца}

_{падобнымі. Абазначаюць так:}

_{' ~  .}

Дачыненне падобнасці задавальняе ўмовам рэфлексіўнасці, сіметрычнасці і транзітыўнасці і таму з’яўляецца дачыненнем эквівалентнасці.

Клас эквівалентных , г. зн. падобных між сабою фігур вызначае форму фігуры  .

Таму кажуць, што дзве падобныя фігуры маюць адну і тую ж форму.

Пры k=1 падобнасць з’яўляецца рухам, таму група P рухаў і ўсе яе падгрупы – гэта

_k

падгрупы групы  падобнасцей. Так як

^{p  F } H _S

і ўсялякая дадатная гаматэтыя

захоўвае арыентацыю вугла, то калі рух F першага роду, то падобнасць p захоўвае

арыентацыю фігур; калі ж рух F другога роду, то падобнасць p змяняе арыентацыю фігур на процілеглую. Адпаведна гэтаму падобнасці бываюць першага і другога роду.

^{Мноства }_

усіх падобнасцей першага роду ўтварае групу. Асноўным інварыянтам

_{гэтай групы з’яўляецца велічыня накіраванага вугла.}

Абазначым

^(S ₀ ⁾

^{– мноства ўсіх гаматэтый плоскасці з цэнтрам у пункце S} ₀

. На

падставе азначэння гаматэтыі можна даказаць, што мноства

^(S ₀ ⁾

есць група. Яна

з’яўляецца падгрупай групы  падобнасцей плоскасці. Асноўны інварыянт гэтай групы- гэта напрамак на плоскасці ў шырокім сэнсе.