§ 5. Рух плоскасці.

Адлегласцю паміж пунктамі A і B называецца даўжыня адрэзка AB.

Азначэнне. Пераўтварэнне плоскасці, якое захоўвае адлегласць паміж пунктамі называецца рухам плоскасці. Г. зн. , калі A’=f(A),B’=f(B), то адлегласць AB=A’B’  A, B. Запісваецца яшчэ і так ׀AB׀=׀A’B’׀

У школьным курсе геаметрыі даказваецца тэарэма: пункты, якія ляжаць на прамой, пры руху пераходзяць у пункты, якія ляжаць на прамой, і захоўваецца парадак іх узаемнага

размешчання.

З яе вынікае, што пры руху прамыя пераходзяць у прамыя, паўпрамыя- у паўпрамыя, адрэзкі- у адрэзкі, пры руху захоўваюцца велічыні вуглоў паміж паўпрамымі, г. зн. Роўныя вуглы пераходзяць у роўныя.

_{А В С}

Відавочна, што паралельныя прамыя адлюстроўваюцца ў паралельныя.

Няхай пункт B ляжыць паміж пунктамі A і C і дзеліць адрэзак AC унутраным спосабам

_AB

у стасунку  роўны, г. зн.

AB   BC

_{,  >0,    .}

BC

Калі f –гэта рух і A’=f(A), B’=f(B), C’=f(C), то паводле папярэдняга пункт B’ ляжыць

_{A' B'}

паміж пунктамі A’ і C’ і дзеліць адрэзак у стасунку    .

B'C '

Але |A’B’|=|AB|, |B’C’|=|BC|. Адсюль маем у якім пункт дзеліць адрэзак.

 ' =  . Такім чынам, рух захоўвае стасунак,

На падставе гэтага можна даказаць, што ўсялякі рух f плоскасці  адлюстроўвае артаўнармаваны рэпер R у артаўнармаваны рэпер R’ і каардынаты (x’; y’) вобраза M’ у рэперы R’ роўныя адпаведным каардынатам (x,y) пункта M y рэперы R .Можна ўпэўніцца, што ўпарадкаваная пара (R,R’) артаўнармаваных рэпераў вызначае і пры тым адзін рух f , які пераводзіць рэпер R у рэпер R’.

_{Выразім каардынаты (x’; y’) вобраза M’ y рэперы R праз яго каардынаты (x,y) y новым}

рэперы R’ па формулах пераўтварэння дэкартавых каардынат. Няхай вектар i'

вугал  з вектарам i . Тады старыя каардынаты выразім праз новыя.

_{ x'  x cos  у sin  x0}

yтварае

_

_ ^{y' x sin  у cos  y}0

(1)

Дзе  =1, калі рэперы R і R’ аднолькава арыентаваны і  =-1, калі яны процілеглай арыентацыі.

Мае месца і адваротнае сцвярджэнне. Таму (1)- гэта аналітычныя выразы руху.

Калі  =1 гытае пераўтварэнне плоскасці называецца рухам першага роду, а пры  =-1- рухам другога роду.

Прыклад1. Калі  =1,  =0 , то з (1) маем

_ x'  x  x₀

_

 ^{y' y  y}0

_{Такім чынам, паралельны перанос з’яўляецца рухам першага роду.}

Прыклад2. Няхай  =1,

_{ x' x cos  y sin}

_

₁₄ ^{ y' x sin   y cos}

x₀  y₀  0 . З (1) атрымаем

Значыць паварот плоскасці- гэта таксама рух першага роду.

Прыклад3.Калі  =-1,  =0,

_{ x'  x}

_

_ ^{y'   y}

x₀  y₀  0 , то з (1) маем

_{Такім чынам восевая сіметрыя- гэта рух другога роду.}

Прыклад4. Няхай  =-1,  =0,

_x'  x  x₀

_

y₀  0 . З (1) атрымаем

_ ^{y'   y}

Слізготная сіметрыя з’яўляецца рухам другога роду.