25 Поток векторного поля, его физический смысл

Понятие потока векторного поля удобно рассматривать на примере потока жидкости, движущейся через некоторую поверхность. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, расположенную в движущейся жидкости, назовем потоком жидкости через эту поверхность.

Пусть поверхность S расположена в поле   скоростей частиц несжимаемой жидкости с плотностью ρ = 1. Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен

где   – единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором  , а величина  .

Независимо от физического смысла вектора   интеграл (3.34) по поверхности называют потоком векторного поля через поверхность S.

Пусть  и  тогда поток П вектора   через поверхность S можно записать в виде:

Или учитывая связь поверхностных интегралов первого и второго родов, можно записать поток П через поверхностный интеграл в координатах:

26 Дивергенция векторного поля, её свойства

Дивергенцией или расходимостью векторного поля   называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле  порождает скалярное поле div  .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградскогоможно представить в форме:

т. е. поток векторного поля   через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы (3.38) можно записать:  и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0 ), имеем:

Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):

где U – скалярная функция.

27 Циркуляция векторного поля, её физический смысл

Циркуляцией поля вектора  по данному контуру   называется предел интегральной суммы  , когда все :

.

Данный предел также называется криволинейным интегралом вектора   по замкнутому контуру и обозначается  .

Таким образом,

.                     (4)

Пусть вектор  физически изображает силу, отнесенную к единице длины. Тогда произведение   будет  изображать примерно величину силы в точке  . Умножив её на   (  – угол между   и  ), получим проекцию этой силы на направление  :  . В пределе вектор   в каждой точке   направлен по касательной к контуру   в сторону положительного обхода. Значит,  представляет алгебраическую сумму сил, действующих на контур по направлению касательной. При этом положительные слагаемые (  – острый угол) вращают контур в положительном направлении. Если циркуляция положительная, контур вращается в положительном направлении, если циркуляция отрицательная – в отрицательном направлении, если циркуляция равна нулю (это возможно, когда поле во всех точках контура перпендикулярно к контуру или суммы положительных и отрицательных слагаемых одинаковы) – контур вращаться не будет.

28 Ротор векторного поля, его свойства

 Ротор (вихрь) векторного поля 

или в символическом виде

     Свойства ротора