Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода.

                                                                                                                    В

Зададим касательный вектор движения по прямой                             

                         

                                                     

, 

                                                       А

   ,а этот интеграл является интегралом первого типа.

 

Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в  .

 

Рассмотрим векторное поле   , для которого  является радиус вектором, тогда                                                                

, и

                                                                                                                                                                                  Кривая L задается системой  .                                                            

По определению:                                   

,         

а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора параметра доказывается также, как и в 

Пусть

r

F( x,y ) = (f(x,y),g(x,y)) − сила, действующая на материальной точку М(x,y) ориентированной кривой L

r

ванной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой F(x,y ) при перемещении точки М вдоль

ориентированной кривой L, равна

W = ∫ f ( x,y)dx + g(x,y)dy.

17 Формула Грина

     Если D - односвязная область, то   (граница области D) - простая замкнутая кривая, обход по которой совершается против часовой стрелки. Если D - неодносвязна, то   - совокупность замкнутых кривых, обход по которым совершается так, что D остается слева.

18 Независимость Кр и-2 от пути интегрирования

И 2-ого рода зависит от того по какому пути он берётся, если начальнаяи конечная точки одинаковые, если знач. Кр И равны между собой соед. Начальную и конечную точки инт., то говорят,что интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 1 Для того чтобы Кр И по прямой L не зависит от пути интегрирования в некоторой области Д необходимым и достаточным, чтобы он по любому замкнутому контуру Д был равен 0

Необходимость. Интеграл не зависит от пути интегрирования. Доказать.

Достаточность. Не зависит от пути интегрирования

19 ПИ-2, определение, вычисление, связь с ПИ-1, физический смысл

                           

Вычисление ПИ-2сводится к вычислению ДИ по плоской области являющейся проекцией поверхности (знак + если угол между поверхностью и нормалью острый)

           

Физический смысл поверхностный интеграл 2-го рода представляет собой поток векторного поля  через выбранную сторону поверхности S.

Связь         

,      

И П-1 = И П-2

20. Формула Стокса

Пусть поверхность S ограничена кусочно-гладким контуром L (рис. 3.14).

Пусть функции: P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – непрерывно дифференцируемы на поверхности S.

Тогда имеет место формула Стокса: