- •Часть 1
- •Глава 1
- •1.1. Пример решения системы методом Гаусса
- •1.2. Понятие матрицы
- •1.3. Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец
- •Пример 1.1
- •Пример 1.2
- •1.4. Матричная форма записи системы линейных уравнений
- •1.5. Матричные обозначения в методе Гаусса
- •Пример 1.3
- •Таким образом, – решение системы. Пример 1.4
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Матрицы. Основные понятия
- •Пример 1.5
- •1.7. Линейные операции над матрицами
- •Пример 1.6
- •Пример 1.7
- •1.8. Умножение матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.9. Определители второго и третьего порядков
- •Пример 1.14
- •1.10. Минор и алгебраическое дополнение
- •1.11. Свойства определителей
- •Пример 1.16
- •Пример 1.17
- •1.12. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
- •Соотношения (1.16) называются формулами Крамера. Из них следует, что в зависимости от значений определителей возможны три случая:
- •Пример 1.18
- •Пример 1.19
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.13. Обратная матрица и ее нахождение
- •Пример 1.20
- •Пример 1.21
- •1.14. Решение систем с помощью обратной матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
Найдите произведения матриц:
№ |
Задания |
Ответы |
1. |
. |
|
2. |
. |
|
3. |
. |
|
4. |
. |
|
5. |
. |
|
6. |
. |
|
7. |
. |
|
8. |
. |
|
1.9. Определители второго и третьего порядков
Рассмотрим матрицу второго порядка А= . Определитель матрицы А называется определителем второго порядка, обозначается detA или |A| и вычисляется как разность произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Таким образом, по определению
= detA= det = = a11 a22 – a12 a21. |
(1.12) |
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника, которое схематически изображено ниже.
=
= + + – – – =
= a11a22a33 + a12 a23a31 + a21 a32 a13 – a31 a22 a13 – a21 a12 a33 – a32 a23 a11.
(1.13)
По схеме правила треугольника (1.13) определитель третьего порядка равен сумме произведений диагональных элементов и элементов, расположенных в вершинах треугольников. При этом произведения элементов, образующих главную диагональ и два первых треугольника, берутся со знаком плюс (т.е. со своим знаком), а произведения элементов, образующих вторую диагональ и два других треугольника – со знаком минус (т.е. с противоположным знаком).
Пример 1.14
1) = (–3)5 – 2(–4) = –15+8 = –7.
2) = (–1)4(–3)+ (–2)02+315–542–3(–2)(–3) –
–10(–1) = 12 +15 – 40 –18 = – 31.
1.10. Минор и алгебраическое дополнение
Минором некоторого элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, остающийся после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс (т.е. со своим знаком), если сумма номеров строки и столбца этого элемента – четное число и взятый со знаком минус (т.е. с противоположным знаком), если эта сумма является нечетным числом.
Выпишем алгебраические дополнения всех элементов определителя:
.
Обычно алгебраическое дополнение элемента amn обозначают большой буквой Аmn.
А11 = |
А12 = – |
А13 = |
А21 = – |
А22 = |
А23 = – (1.14) |
А31 = |
А32 = – |
А33 = |
Матрица из алгебраических дополнений
называется присоединенной (или союзной) матрицей для матрицы
.
Пример 1.15
Найти алгебраическое дополнение элемента a13 определителя
.
Решение
= = 3 – 8 = –5.