- •Часть 1
- •Глава 1
- •1.1. Пример решения системы методом Гаусса
- •1.2. Понятие матрицы
- •1.3. Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец
- •Пример 1.1
- •Пример 1.2
- •1.4. Матричная форма записи системы линейных уравнений
- •1.5. Матричные обозначения в методе Гаусса
- •Пример 1.3
- •Таким образом, – решение системы. Пример 1.4
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Матрицы. Основные понятия
- •Пример 1.5
- •1.7. Линейные операции над матрицами
- •Пример 1.6
- •Пример 1.7
- •1.8. Умножение матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.9. Определители второго и третьего порядков
- •Пример 1.14
- •1.10. Минор и алгебраическое дополнение
- •1.11. Свойства определителей
- •Пример 1.16
- •Пример 1.17
- •1.12. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
- •Соотношения (1.16) называются формулами Крамера. Из них следует, что в зависимости от значений определителей возможны три случая:
- •Пример 1.18
- •Пример 1.19
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.13. Обратная матрица и ее нахождение
- •Пример 1.20
- •Пример 1.21
- •1.14. Решение систем с помощью обратной матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
Часть 1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1
Матричное исчисление и его приложения
к решению систем линейных уравнений
Теория линейных уравнений исторически была первым разделом линейной алгебры. В связи с изучением систем линейных уравнений появилось понятие матрицы. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры. Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в теории линейных уравнений, а также в других разделах современной математики, в механике и электротехнике.
1.1. Пример решения системы методом Гаусса
Пусть требуется решить систему трех уравнений с тремя неизвестными:
|
(1.1)
|
Будем последовательно “исключать” неизвестные. Для этого первое уравнение системы оставим без изменений, а второе и третье преобразуем:
1) ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на –2, и приведем его к виду –3x2 –2x3 = –2;
2) к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на – 4, и приведем его к виду –3x2 – 4x3 = 2.
В результате из второго и третьего уравнений будет исключено неизвестное x1 и система примет вид
Второе и третье уравнения системы умножим на –1, получим
Коэффициент 1 в первом уравнении при первом неизвестном х1 называется ведущим элементом первого шага исключения.
На втором шаге первое и второе уравнения остаются без изменений, а к третьему уравнению применим тот же способ исключения переменной x2. Ведущим элементом второго шага является коэффициент 3. К третьему уравнению прибавим второе, умноженное на –1, тогда система преобразуется к виду
|
(1.2)
|
Процесс приведения системы (1.1) к виду (1.2) называются прямым ходом метода Гаусса.
Порядок действий решения системы (1.2) называется обратным ходом. Из последнего уравнения получим х3= –2. Подставляя это значение во второе уравнение, получим х2 = 2. После этого первое уравнение дает х1 = 1. Таким образом, - решение системы (1.1).
1.2. Понятие матрицы
Рассмотрим величины, входящие в систему (1.1). Набор из девяти числовых коэффициентов, стоящих в уравнениях перед неизвестными, образует таблицу чисел, которая называется матрицей:
А = . |
(1.3) |
Числа таблицы называются элементами матрицы. Элементы образуют строки и столбцы матрицы. Количество строк и количество столбцов образуют размерность матрицы. Матрица А имеет размерность 33 (“три на три”), причем первое число указывает количество строк, а второе – столбцов. Часто матрицу обозначают, указывая ее размерность А(33). Так как число строк и столбцов в матрице А одинаково, матрица называется квадратной. Количество строк (и столбцов) в квадратной матрице называется ее порядком, поэтому А – матрица третьего порядка.
Правые части уравнений, также образуют таблицу чисел, т.е. матрицу:
B(31) = . |
(1.4)
|
Каждая строка этой матрицы образована единственным элементом, поэтому B(31) называется матрицей–столбцом, ее размерность 31. Набор неизвестных также можно представить как матрицу-столбец:
Х(31) = . |
(1.5)
|