27.Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: Δy = A Δx+Δ, где А не зависит от Δx (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и Δ имеет высший порядок относительно Δx (при Δx > 0). Тогда первый член, пропорциональный Δx, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).

Пусть нам известно значение функции y₀=f(x₀) и ее производной y₀' = f '(x₀) в точке x₀. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x₀)·Δx.Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x₀), то f(x) – f(x₀)≈f'(x₀)·Δx.Откуда

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

28.Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа.

Теорема (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , такая, что f( ) = 0.

данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения. Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси .

Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться.

Теорема (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , такая, что

f'( ) = (f(b)-f(a))/(b-a). Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля. Теорема (теорема Ферма). Пусть функция y = f(x) определена в интервале (a, b) и принимает в некоторой точке x0 ∈ (a, b) наибольшее (наименьшее) значение. Тогда, если эта функция дифференцируема в рассматриваемой точке, то её производная равна нулю.

29.Раскрытие неопределенностей.

Неопределенности типа

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю. Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.

Неопределенности типа

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности типа

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .