- •1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
- •2. A. Колца(19), поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца(4). Два крытэры падполя.(2)
- •3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
- •4. A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу. (5)
- •5.B. Галоўны ідэал. Колцы галоўных ідэалаў.
- •8. A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў.(10) Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
- •14. A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
- •15. A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.(8)
- •16. A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
- •18. A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •22. A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •24. A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
- •25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
- •28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
- •32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).
- •36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).
- •1. A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
24. A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
Няхай K – камутатыўнае колца з 1, - зменная. Тады K[ ] – камутатыўнае колца з 1. K[ ][ ]= – колца паліномаў ад зменных , над колцам K. Элементы гэтага колца ёсць паліномы
- наз маномам, складнік f.
Каб знайсці суму 2 паліномаў, трэба скласці каэфіцыенты пры аднолькавых маномах і прывесці падобныя, а каб перамножыць – перамнажаем паводле дыстрыбутыўнасці і прыводзім падобныя складнікі.
Найбольшы паказчык пры у маномах з ненулявым каэфіцыентам наз ступеню f у дачыненні да і абазначаецца .
- наз поўнай ступеню манома .
Найбольшая з поўных ступеняў манома з ненулявымі каэфіцыентамі наз поўнай ступеню f і абазначаецца deg f. Нулявы паліном ступені не мае.
Паліном f наз аднародным паліномам ступені m (ці формай ступені m) калі ўсе яго маномы з ненулявымі каэфіцыентамі маюць поўную ступень K. Нуль будзем лічыць формай адвольнай ступені.
Тэарэма 1: Няхай K – камутатыўнае колца з 1 без дзельнікаў нуля. Тады - камутатыўнае колца з 1 без дзельнікаў нуля. Для адвольных ненулявых паліномаў
Тэарэма 2: Няхай K – камутатыўнае колца з 1, K - падколца колца S, якое таксама камутатыўнае колца з 1 і няхай – адвольныя паліномы з . Kалі , а , тады
Лексікаграфічны запіс паліномаў
Існуюць два натуральныя запісы паліному ад 1 зменнай: па нарастальных ступенях невядомай: і па спадальных ступенях невядомай: - старэйшы за маном (2)
Калі існуе лік k, 1≤k≤n, такі, што і будзем запісываць маном з ненулявым каэфіцыентам, які старэйшы за другі маном з ненулявым каэфіцыентам, раней за яго. У выніку атрымаўся запіс, які наз лексікаграфічным запісам палінома.
Першы складнік у лексікаграфічным запісе палінома наз старшым складнікам палінома.
Лема: Старшы складнік здабытку 2 паліномаў роўны здабытку старшых складнікаў гэтых паліномаў, калі здабытак каэфіцыентаў пры старшых складніках не роўны нулю.
25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
К-камутат колца з адзінкай
Азн1.Паліном f(x1,…,xn) K[x1,…,xn] наз сіметрычным, калі ён не змяняецца пры перастаўленне
двух зменных f(x1,…,xi,…,xj,…,xn)= f(x1, ,xi-1,xj,xi,…
xj-1,xi,xj,..,xn) 1=<i<j=<n
Тэарэма1. Мн-ва ўсіх сіметрычных паліномаў з К[x1,…,xn] ёсць падколца колца К[x1,…,xn]
Тэарэма2. Палиномы σ1=х1+х2+..+xn
σ2=х1 х2+х1 х3+..+ х1xn+ х2 х3+…+ хn-1 хn
σ3=х1 х2 х3+х1 х2х4+….+ хn-2 хn-1 хn
……………….
σn=х1 х2 хn наз элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n зменных
Коэфіцыенты паліномаў ад адной зменных = элементарных сіметрычным паліномаў ад каранёў гэтага паліномаў са знакам “+” ці “--” наз формулы Віета
Тэарэма1(Пра сіметрычны паліном) Няхай К-камут колца з 1. Для адвольнага сіметрычнага паліному f(x1,…,xn) K[x1,…,xn] існуе адзіны паліном g(x1,…,xn) K[x1,…,xn] такі,што f(x1,…,xn)= g(ɓ 1(x1,…,xn), ɓ 2 (x1,…,xn),…, ɓ n (x1,…,xn))