9.2. Интервалы монотонности функции

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности . Установим необходимое и достаточное условие монотонности функции.

Теорема (необходимые условия монотонности):

Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция f(x) возрастает (убывает), то ,

Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает на интервале . Возьмём произвольные точки x и на интервале и рассмотрим отношение . Функция f(x) возрастает, поэтому если , то и если , то и . В обоих случаях , т. к. числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция f(x) имеет производную в точке x , которая является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,

. Ч.т.д.

Теорема (достаточные условия монотонности):

Если функция f(x) дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Доказательство. Пусть . Возьмём точки x₁ и x₂ на интервале , причём . Применим к отрезку теорему Лагранжа: , где . По условию . Следовательно, или , т. е. функция f(x) возрастает на интервале . Ч.т.д.

9.3. Экстремумы функции

Точки, в которых производная равна нулю, или не существует, называются критическими.

y

0

δ

y_min

y_max

Опр.3 Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции y=f(x), если существует такая δ-окрестность точки х₀, что для всех х≠ х₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(х₀) ( f(x)>f(х₀)).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

(nnnn)

Теорема ( необходимое условие экстремума функции):

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю f´(x₀)=0.

Замечание: Геометрически этот факт означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции y=f(x), касательная к ее графику параллельна оси ОХ.

Замечание: Обратная теорема неверна, т.е. если f´(x₀)=0, то это не значит, что х₀ -точка экстремума. Например, для функции y=x³ ее производная y´=3x²равна нулю при х=0, но х=0 не является точкой экстремума, а является точкой перегиба

Теорема ( достаточное условие экстремума функции)

Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀ и при переходе через нее ( слева на право) производная f´(x) меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума функции (если же происходит изменение знака с минуса на плюс, то точка х₀- точка минимума функции).

Теорема (достаточное условие экстремума с помощью первой и второй производной)

Если в точке х₀ первая производная функции y=f(x) равна нулю (f´(x₀)=0), а вторая производная в точке х₀ существует и отлична от нуля, то при f´´( х₀)<0 в точке х₀ функция имеет максимум (а при f´´( х₀)>0 0 в точке х₀ функция имеет минимум).

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.