8.3. Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдётся хотя бы одна точка , такая, что выполняется равенство:

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив (x)= x, находим

Подставляя эти значения в формулу , получаем или _Ч.т.д.

_{Замечание: Полученную формулу}

_{Называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении:}

_{Приращение дифференцируемой функции на отрезке [a,b]} равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка

Следствие 1 :Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Следствие 2: Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

8.4. Правило Лопиталя

Данное правило помогает раскрыть неопределенности вида и при вычислении пределов.

Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида

Пусть функции f(x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ и обращаются в нуль в этой точке: f(x₀) = (x₀) = 0. Пусть в окрестности точки x₀. Если существует предел , то

Д оказательство. Возьмем точку х, принадлежащую окрестности точки x₀ Применим к функциям f(x) и (x) теорему Коши на отрезке [x₀;x]. Тогда где с лежит между x₀ и x (см. рис.).

Учитывая, что f(x₀) = (x₀) = 0, получаем

При величина с также стремится к x₀; перейдём к пределу:

Так как . Поэтому

_Ч.т.д.

8.5. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида

Пусть f(x) и g(х) – функции, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х₀, за исключением быть может самой точки х₀, и при х®х₀ обе эти функции стремятся к бесконечности. Тогда если существует предел при х®х₀, то существует и предел отношения самих функций, причем, они равны, т.е.

= .

Замечания:

1. Теорема остается справедливой и в том случае, если х ® ±¥ или х®х0±0;

2. Если опять дает неопределенность вида или , то правило Лопиталя следует применить еще раз.

Примеры:

Вычислить пределы функций с помощью правила Лопиталя.

1) = = = = = 2

2) = = = = = 0

3) = = = = 

Лекция № 9 Исследование функции и построение графика

9.1. Возрастание и убывание функции.

х

Опр.1 Функция у=f(x) называется убывающей на промежутке (а; b), если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует меньшее значение функции.

Т.е. если х₁ , х ₂ (а;b), х₁ >x₂ , то f(x₁)<f(x₂).

Опр.2 Функция у=f(x) называется возрастающей на промежутке (а; b), если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее значение функции.

Т.е. если х₁ , х ₂ (а;b), х₁ >x₂ , то f(x₁)>f(x₂).

Из этих определений вытекает, что для возрастающей функции приращение функции и приращение аргумента имеют один и тот же знак, т.е. , а для убывающей .

Таким образом, возрастание и убывание функции может быть охарактеризовано знаком ее производной, что устанавливает справедливость следующих теорем.