2. Кинематика вращательного движения.

При описании вращат. движения используют полярные координаты  и где  — радиус (расстояние от центра вращения до MT), а  полярный угол (угол поворота). Элементарные повороты обозначают или и рассматривают как псевдовекторы. Угловое перемещение векторная величина, модуль которой равен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступа­т. движения правого винта. Угловую скорость определяют так: угловое ускорение : Вектор направлен вдоль оси вращения как и вектор т.е. по правилу правого винта. Вектор направлен вдоль оси вращения в сторону вектора приращения угловой скорости (при ускоренном вращении вектор сонаправлен вектору при замедленном — противонаправлен ему). Единицы угловой скорости и углового ускорения — рад /с и рад /с².

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью и радиусом В векторном виде формулу для линейной скорости м-но написать как векторное произведение: направление скорости совпадает с направлением поступат. движения правого винта при его вращении от к При равномерном вращении и поскольку то Длина пути выражается как также аналогично, как для поступат. движения, в случае равноускоренного вращат. (имеется в виду, что

Динамика движения МТ

В основе динамики лежат 3 закона Ньютона. В качестве 1-го закона динамики Ньютоном конкретизирован закон, установленный еще Галилеем: всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку воздействие со стороны других тел не побуждает его изменить это состояние.

Этим положением устанавливается, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тел не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство физических тел, называемое их инертностью. Явление же сохранения состояния покоя или равномерного прямолинейного движения тел при отсутствии воздействия со стороны других тел называют инерцией. Поэтому 1-ый закон Ньютона именуют законом инерции. Всякое движение имеет смысл, если указана система отсчета (СО). СО, в к-рых выполняется 1-ый закон Ньютона, – инерциальные. СО же, к-рые движутся с ускорением относит-но инерциальных – неинерциальные. 1-ым законом Ньютона постулируется существование инерциальных систем отсчета (ИСО) — таких, относит-но к-рых МТ, не подверженная воздействию других тел, движется равномерно и прямолинейно.

Материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние.

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в 1-ом законе Ньютона, вводят понятие силы. Для описания инерционных свойств тел вводится понятие массы.

Сила — векторная величина, являющаяся мерой механического действия на тело со стороны других тел или полей, в результате к-рого тело приобретает ускорение или изменяет форму и размеры. Масса - физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая её инерционные и гравитационные свойства. Единица массы — килограмм (кг). Векторную величину равную произведению массы m МТ (тела) на ее скорость и имеющую направление скорости, называют импульсом (или количеством движения) этой МТ (тела):

Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе, трении, давлении друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами. Особую форму материи, связывающую частицы вещества в единые системы и передающую с конечной скоростью действие одних частиц (или тел) на другие, называют физическим полем (силовым полем) или просто полем. Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством связанных с ними гравитационных и электромагнитных полей.

2-ой закон Ньютона. Во 2-ом законе Ньютона — основном законе динамики поступательного движения — отражено как изменяется механическое движение МТ (тела) под действием приложенных к ней сил.

Ускорение, приобретаемое телом (МТ), пропорцио­нально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела (МТ): или Т.о., формулировка 2-ого закона Ньютона в более общей форме (основное ур-ние механики / динамики поступательного движения): скорость изменения импульса МТ равна действующей на нее силе

В качестве единицы силы используют ньютон (Н): 1Н — сила, к-рая массе в 1кг сообщает ускорение 1м/c² в направлении действия силы.

3-ий закон Ньютона. В окружающей человека действительности проявляется взаимодействие материальных образований. Оно проявляется во взаимном влиянии тел и приводит к изменению их состояний. Соотношение сил при взаимодействии устанавливается 3-им законом Ньютона: две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по величине, противоположно направленными и расположенными вдоль прямой, соединяющей эти точки: . Здесь – сила, действующая на 1-ую точку со стороны 2-ой, – сила, действующая на 2-ую точку со стороны 1-ой . Из записанных соотношений вытекает, что и Это oзначaeт, что при взаимодействии двух MT приобретаемые ими ускорения обратно пропорциональны их массам и направлены в противоположные стороны. Силы в механике – это всегда силы взаимного действия.

СИЛЫ в механике

Силы тяготения (гравитационные силы). Тела с массами m₁ и m₂ , находясь на расстоянии r, притягиваются с силой, имеющей величину= G m₁ m₂/r ²  закон всемирного тяготения. Здесь G = 6.6710^-11 м³/кгс²  гравитационная постоянная, впервые с высокой точностью измеренная Г.Кавендишем (1798 г.). Силовое поле сил гравитации центрально.

В СО, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила = называемая силой тяжести — сила, с которой тело притягивается Землёй. Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым ускорением g = 9,81 м/с² , называемым ускорением свободного падения (g = GM_З/R_З², здесь M_З , R_З - масса и радиус планеты Земля).

Весом тела — называется сила, с которой тело (из-за тяготения к Земле) действует на опору или натягивает нить подвеса.Сила тяжести действует всегда, вес же проявляется, если на тело, кроме силы тяжести, могут воздействовать другие силы. Сила тяжести равна весу тела в том случае, когда ускорение тела относит-но Земли равно 0. В противном случае где а — ускорение тела с опорой относит-но Земли. Если тело свободно движется в поле силы тяготения, то и вес равен 0, т.е. тело будет невесомым. Невесомость — это состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести.

Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией. Упругая сила пропорциональна смещению частицы из положения равновесия и направлена к положению равновесия: радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия, — упругость. Примером такой силы является сила упругости деформации пружины при растяжении или сжатии: жесткость пружины, x - величина упругой деформации. Природа сил упругости  в электромагнитном взаимодействии между частицами в структуре тела.

Силы трения порождены, в основном, также этим взаимодействием. Сила трения скольжения возникает при скольжении данного тела по поверхности другого: коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей; сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого. Трение покоя возникает при попытках сдвинуть твердое тело.

Сухое трение возникает между трущимися твердыми телами. Жидкое трение возникает в жидкостях и газах – при движении в них твердых тел или при движении одних слоев жидкости (газа) относительно других. Но даже и при движении твердого тела трение возникает между тонким слоем жидкости, прилипшей к телу и движущимся со скоростью твердого тела и прилегающими слоями жидкости.

Силы жидкого трения зависят от размеров и формы тела, состояния его поверхности, свойств жидкости (жидкости бывают более и менее вязкими, например, глицерин и вода), а также скорости движения тела. При небольших скоростях сила жидкого трения равна При увеличении скорости этот закон заменяется другим . Здесь - коэффициенты сопротивления.

Работа, энергия, мощность

Энергия — это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную... Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Работа силы — это количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. При прямолинейном движении тела под действием постоянной силы к-рая составляет некоторый угол  с направлением перемещения, работа этой силы равна: здесь длина пути, пройденного телом под воздействием силы.

В общем случае сила в зависимости от точки на траектории м-т изменяться как по модулю, так и по направлению (рис.1), поэтому этой относит-но простой формулой пользоваться нельзя. Однако на длине элементарного (беско­нечно малого пути) перемещения можно ввести скалярную величину — элементарную работу dA силы Тогда работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна непрерывной сумме элементарных работ на бесконечно малых участках пути или т.е. находится интегрированием функции выражающей зависимость силы «от пути». Если зависимость представлена графически, то работа А опре­деляется площадью заштрихованной фигуры (см. рис.2).

Консервативной (потенциальной) называют силу, работа которой определяется только начальным и конечным положениями тела и не зави­сит от формы пути. Консервативными силами являются силы тяготения, упругости. Примером неконсервативных сил являются силы трения. Силовые поля консервативных сил называют потенциальными. Все центральные силы консервативны, поэтому силовые поля центральных сил (гравитационных, электростатич.) потенциальны.

Чтобы характеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность P равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы:

Единица работы — джоуль (Дж) - работа совершаемая силой 1 H на пути 1м: 1 Дж =1Нм.

Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж: 1 Вт =1 Дж /с.

Кинетическая и потенциальная энергия механической системы

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Сила, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, приращение кинетической энергии частицы на элементарном леремещении равно элементарной работе на том же перемещении: Тело массой движущееся со скоростью обладает кинетической энергией

Кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела. Поэтому кинетическая энергия: (1) является функцией состояния системы; (2) всегда положительна; (3) неодинакова в разных инерциальных системах отсчета.

Потенциальная энергия (W) — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и её положения по отношению к внешним телам.

Примеры потенциальной энергии:

1. Потенциальная энергия тела массой m на высоте h:

2. Потенциальная энергия пружины, растянутой на длину

Единица кинетической и потенциальной энергии — Джоуль (Дж).

Закон сохранения энергии. Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий. В системе тел, между к-рыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем: Сформулированный закон сохранения — фундаментальный закон природы. Он является следствием однородности времени — инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называют консервативными системами. В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут лишь происходить превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной.

Диссипативные системы — системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. В системе, в к-рой действуют также неконсервативные силы, напр-р, силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. При «исчезновении» механической энергии, однако, всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда на исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Закон сохранения импульса. Механической системой называют совокупность МТ, рассматриваемых как единое целое. Физическое тело м-но рассматривать как систему МТ. C системой МТ связывается характерное понятие центра масс ситемы (или физического тела)  приближённо движение системы МТ (тела) м-т быть описано движением этой точки.

Импульс замкнутой системы тел не изменяется с течением времени (сохраняется); формально это нетрудно указать, следуя основному ур-нию динамики здесь сумма внешних сил, действующих на систему. Поск-ку рассматривается замкнутая система, т.е., откуда (импульс неизменен).

Удар (соударение) — столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Центральный удар — удар, при котором тела до удара движутся по прямой, проходящей через их центры масс.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате к-рого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетич. энергия, к-рой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. В этом случае выполняются законы сохранения импульса и сохранения механической энергии.

Рассмотрим прямой центральный удар двух шаров с массами m₁ и m₂. Обозначим скорости шаров до удара через и , после удара — и Соотношения для закона сохранения энергии и импульса соответственно следующие: и Отсюда скорости шаров после удара выразятся так  и

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате к-рого они объединяются, двигаясь далее как единое тело. Для шаров с массами m₁ и m₂ и со ск-стями и скорость после удара определяется из соотношения для закона сохранения импульса (закон сохранения механич. энергии не выполняется): Вследствие деформации часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию тел (разогрев). Величина снижения кинетич. энергии выражается так:

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Любое твердое тело можно мысленно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частиц, которые можно рассматривать как материальные точки (МТ). Распределение масс в механической системе характеризуется центром масс (инерции). Уже известно как определяется радиус-вектор центра масс механической системы, состоящей из n материальных точек. Для твердого тела центр инерции (масс) совпадает с центром тяжести. Центр тяжести твердого тела – неизменная связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы этого тела. Это позволяет применять к исследованию движения твердого тела закономерности, записанные ранее для МТ. Моделью твердых тел является абсолютно твердое тело (АТТ).

1. Пусть нек-рое твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Ох с угловой скоростью . Известно, что вектор в выбранном случае в соответствии с правилом правого винта направлен по оси вращения вверх. Разобьем мысленно это тело на бесконечно большое число бесконечно малых элементов, которые можно рассматривать как материальные точки (МТ). Все эти элементы будут описывать окружности, центры которых лежат на оси вращения, с одной и той же угловой скоростью . Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относит-но неподвижной точки О называют физич. величину, определяемую векторным произведением:

В качестве динамич. характеристики вращения тела используется суммарный (по всем составляющим МТ) момент импульса где момент инерции твердого тела относит-но оси Ох  сумма произведений масс всех элементов твердого тела на квадраты их расстояний до оси вращения.

2. Т.о., в качестве характеристики инертности при вращательном движении МТ или твердого тела используется не масса (или не просто масса), а момент инерции. Моментом инерции МТ относительно оси вращения называют произведение массы, сосредоточенной в этой МТ, на квадрат расстояния от оси: Моментом инерции системы МТ (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси x равен сумме момента его инерции относит-но параллель­ной оси, проходящей ч/з центр масс тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния d между осями.

Пример применения теоремы Штейнера: момент инерции прямого тонкого стержня длиной l относительно оси, которая перпендикулярна стержню и проходит через его конец (эта ось отстоит на d = l/2 от оси, проходящей через центр стержня): Т.о., величина момента инерции зависит от выбора оси вращения.