- •1. Событие. Классификация событий
- •2. Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая вероятность
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическая вероятность
- •5. Задача о встрече
- •6. Действия над событиями
- •7. Теорема сложения вероятностей
- •8. Теорема умножения вероятностей
- •9. Условная вероятность события
- •10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
- •11. Формула полной вероятности
- •12. Теорема гипотез. ( Формула Байеса )
- •13. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •14. Закон распределения
- •15. Функция распределения
- •16. Общие свойства функции распределения
- •17. Плотность распределения
- •18. Основные свойства плотности распределения
- •19. Математическое ожидание и его свойства
- •20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •21. Мода и медиана
- •22. Дисперсия случайной величины
- •23. Свойства дисперсии
- •27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •30. Корреляционный момент случайных величин и его свойства
- •31. Коэффициент корреляции и его свойства
- •32. Формула Бернулли
- •33. Наивероятнейшее число наступления события
- •34. Асимптотические формулы вычисления вероятностей
- •35. Биномиальный закон распределения
- •36. Закон распределения Пуассона
- •37. Равномерный закон распределения
- •38. Показательный закон распределения
- •39. Нормальный закон распределения
- •40. Математическое ожидание нормального закона распределения
- •41. Дисперсия нормального закона распределения
- •44. Неравенство Маркова
- •45. Неравенство Чебышева
- •46. Теорема Чебышева
- •47. Теорема Бернулли
- •48. Теорема Ляпунова
- •49. Интегральная теорема Лапласа
- •50. Виды статистических наблюдений
- •Виды статистических наблюдений:
- •51. Виды измерений
- •Количественные измерения
- •Порядковые (ранговые) измерения
- •Номинальные измерения
- •Статистические таблицы
- •52. Методы ранжирования
- •53. Группировка и табулирование количественных данных
- •54. Графическое изображение вариационных рядов
- •55. Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое)
- •56. Показатели вариации
- •57. Ассиметрия и эксцесс
- •58. Эмпирическая функция распределения
- •59. Точечные интервальные оценки
- •60. Доверительные интервалы
45. Неравенство Чебышева
Теорема. Каково бы ни было для любой случайной величины , дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева
.
Доказательство. Рассмотрим величину .
.
Для получим
.
Подставим в это неравенство выражение через и
или
Примеры.
Определение. Последовательность чисел называется равномерно ограниченной, если существует такая постоянная М, что для любого .
46. Теорема Чебышева
Если - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание и дисперсия , , причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного
Доказательство.
Последовательность равномерно ограничена, т.е. существует такое М, что для любого натурального . Рассмотрим случайную величину
. У этой величины есть математическое ожидание и дисперсия:
,
Здесь мы воспользовались свойством, что если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.
Таким образом, удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при любом имеем
или
Итак,
Пусть , тогда при любых .
Отсюда , что и требовалось доказать.
Следствие.
Если - последовательность независимых случайных величин, математические ожидания каждой из которых равны , а дисперсии , то ……………
()
Отсюда следует ,
Если точность всех измерений одна и та же, т.е. , i=1,2,…
47. Теорема Бернулли
S n A p
Пусть случайная величина - число наступлений события А в i-ом испытании.
0 |
1 |
|
Следовательно,
через m , то
или
-
i
1
2
3
4
5
…
20
5
3
5
5
6
…
5
,
48. Теорема Ляпунова
Можно доказать, что CBX1X2…Xn –являются независим нормально распределенными CB, то сумма также распределена по номмальному закону с мат. Ожиданием равным сумме мат. ожиданий и дисперсией равной сумме дисперсий. Обобщением этого утверждения является следующая Т. Ляпунова
Т. Если X1X2…Xn –независимые CB, у каждой из которых существует мат ожидание и диспепсия , , также существует , а также , тогда сумма S=X1+X2+…+Xn распределена асимптотически по нормальному закону с мат ожид равным сумме мат ожид и дисперсий равной сумме дисперсий, тогда для
–ранее вывели. Ф-ция Лапласа.
Следствием из Т. Липунова являются следующие неравенства:
Здесь γ и ε –любые положительные числа, а также a1=a2=…=an=a,
Например, если производятся измерения некоторой величины, истинное значение которой равно a, то среднее арифметическое значение результатов измерений отличается от истинного значения по модулю меньше чем ε с вероятностью прибл равной