2. 6. Электроемкость уединенного проводника, шара.

Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.

(1.9)

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

Единица электроемкости – фарад (Ф): 1 Ф – емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

2. 7. Электроемкость шара.

где R-радиус шара.

Рис. 1.8

I. 5. Электроемкость плоского конденсатора.

Рис. 1.14

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком (рис. 1.14). Поле сосредоточено внутри конденсатора, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе на одной из обкладок , к разности потенциалов между его обкладками:

(1.18)

2. 8. Электроемкость батареи конденсаторов при последовательном соединении.

У последовательно соединенных конденсаторов (рис. 1.16) заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи

Рис. 1.16

где для любого из рассматриваемых конденсаторов . С другой стороны,

откуда

(1.20)

При последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.

2. 9. Электроемкость батареи конденсаторов при параллельном соединении

Параллельное соединение конденсаторов (рис. 1.15). У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна . Если емкости отдельных конденсаторов С₁, С₂,…,С_n, то, их заряды равны

Рис. 1.15

,

…………………………

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

(1.19)

При параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

2. 10. Энергия заряженного конденсатора.

, (1.19)

где Q – заряд конденсатора, С – его емкость, - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Примеры решения задач.

Задача 1.Положительные заряды q₁ = 2мкКл и q₂ = 10мкКл находятся в вакууме на расстоянии 1м друг от друга. Определить работу, которую совершат силы отталкивания при удалении заряда q₂ на расстояние 10м от заряда q₁.

Дано: q1= 2мкКл q2 = 10мкКл r1 = 1м r2 = 10м	2Кл 10-5 Кл	Решение. Рассмотрим физическую систему состоящую из двух зарядов q1 и q2 и их поля. Будем считать заряд q1 неподвижным. Заряд q2 под действием поля заряда q1 перемещается из точки В в точку С.
А - ?

Расстояние от точки В до заряда q₁ равно r₁, потенциал поля в этой точке ₁. Расстояние от заряда q₁ до точки С равно r₂, потенциал поля в точке С равен ₂. Тогда работа совершаемая при перемещении заряда q₂ из точки В в точку С равна (2.7):

 q₂(_ -_). (2.8)

где ₁ и ₂ в соответствии с (2.2):

. (2.9)

Подставим (2.3) в (2.2):

. (2.10)

После подстановки числовых значений получили: А = 0,162 Дж.

Ответ: = 0,162 Дж.

Задача 2.Найти работу поля по перемещению заряда q = 10 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 2.2), находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью  =0,4мкКл/м² бесконечными параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно 3см.

Дано: q = 10 нКл  =0,4 мкКл/м2 l = 3 см	109 Кл 4·10-7 Кл/м2 0,03 м	Решение. Решим задачу двумя способами.
А - ?

Рис.2.2

1-й способ. Работу сил поля по перемещению заряда q из точки 1 с потенциалом _ в точку 2 с потенциалом ₂ найдем по формуле (2.7):

 q (_ -_). (2.11)

Разность потенциалов _ -_ найдем из (2.6):

. (2.12)

Поле между двумя равномерно заряженными параллельными плоскостями однородно и его напряженность равна:

. (2.13)

Подставим (2.13) в (2.12) и после интегрирования получим (см. рис.2.2):

. (2.14)

Тогда работа будет определяться выражением:

(2.15)

2-й способ. При перемещении тела под действием силы F совершается работа:

. (2.16)

Сила, действующая на заряд в электрическом поле с напряженностью (2.13), будет равна:

(2.17)

Подставим (2.17) в (2.16) и проинтегрируем:

(2.18)

Оба решения приводят к одному и тому же результату. После подстановки в (2.18) числовых значений получим: А =13,6 мкДж.

Ответ: мкДж.

Задача 3.Найти потенциал в центре кольца, по которому равномерно распределен заряд с линейной плотностью .

Дано: 	Решение. Физическую систему составляют равномерно заряженное кольцо и электрическое поле этого заряда. Для определения потенциала  в центре полукольца воспользуемся
 ?

принципом суперпозиции. Разделим полукольцо на малые элементы дуги dl так, чтобы заряд dq = dl каждого такого элемента можно было считать точечным (см. рис.2.3). Тогда потенциал поля, создаваемого зарядом dq, будет равен (2.2):

. (2.19)

Согласно принципу суперпозиции потенциал в центре полукольца определяется алгебраической суммой потенциалов d элементарных зарядов:

Рис.2.3

Ответ:

Задача 4.Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда ^Кл/м². Определить разность потенциалов двух точек поля, стоящих от плоскости на r₁ = 10см и r₂ = 20см (рис 2.4).

Дано: Кл/м2 r1 = 10см r2 = 20см	0,1м 0,2 м	Решение. Физическую систему составляют бесконечная равномерно 0,2м заряженная плоскость и созданное ней электрическое поле. Для определения разности потенциалов используем связь напряженности и потенциала (2.6):
( - ?

Рис. 2.4

. (2.20)

Так как точки 1и 2 расположены на одной силовой линии cos 0 =1. Следовательно, с учетом (1.10) Е = /2_, получим:

,

или после интегрирования

. (2.21

После подстановки числовых значений получим: __225 В.

Ответ: =225 В.

Задача 5.Электрон движется в плоском горизонтально расположенном конденсаторе параллельно его пластинам со скоростью υ^м/с. Разность потенциалов на пластинах конденсатора U =4кВ, расстояние между пластинами d = 4см, длина пластин конденсатора l = 20см. На какое расстояние сместится электрон в вертикальном направлении под действием электрического поля во время его движения в конденсаторе.

Дано: υ=  м/с U =4000 В d = 4 м l = 0,2 м	Решение. Рассмотрим движение электрона между пластинами конденсатора (см. рис.2.5). Электрон будет двигаться под действием двух сил: силы тяжести m и электрической силыFэл=е.Можно заметить, что mgеЕ, т.к. mэл= кг, а е = -16 Кл.
h -?

Поэтому действием силы тяжести в данном случае можно пренебречь. Согласно второму закону Ньютона запишем:

m = e. (2.22)

Выберем ось x так, чтобы она была параллельна пластинам конденсатора, а y – перпендикулярна (см. рис.2.5). Выражение (2.22) в проекциях на ось y будет иметь вид:

ma = |eE| (2.23)

x

E

V₀

О

h

mg

d

F_эл

l

y

Рис. 2.5

Напряженность поля внутри конденсатора связана с разностью потенциалов, как следует из (2.6), выражением:

U = Ed (2.24)

Из (2.23) и (2.24) найдем а = а_у:

. (2.25)

Так как ускорение электрона постоянное, его перемещение будет равно:

, (2.26)

или в проекциях на оси Ох и Оу соответственно:

. (2.27)

Решим уравнение (2.27) с учетом (2.25):

.(2.28)

Подставим в (2.28) числовые значения и получим:

Ответ: .

Задача 6.Два одноименных точечных заряда q₁ и q₂ с массами m₁ и m₂ движутся на встречу друг другу. Когда расстояние между ними равно r₁, их скорости равны υ₁ и υ₂. До какого минимального расстояния r_min сблизятся заряды?

Дано: q1 q2 m1 m2 r1 υ1 υ2

Решение. Рассмотрим замкнутую физическую систему состоящую из двух электрических зарядов q1 u q2 . По закону сохранения энергии энергия системы W1 в момент, когда заряды находились на расстоянии r, должна быть равна энергии W2 в момент максимального сближения зарядов. В этот момент времени заряды в следствие действия электрических сил отталкивания остановятся, их кинетическая энергия будет равна нулю. В начальный момент, когда заряды двигались со скоростями υ1 и υ2, энергия системы складывалась из кинетической энергии W1к и потенциальной энергии взаимодействия зарядов (2.4):

r min-?

Следовательно:

. (2.29)

В момент, когда расстояние между зарядами стало r_min, энергия системы представляла собой только потенциальную энергию взаимодействия зарядов:

, (2.30)

т.к. W₁=W₂, получим, приравняв (2.29) и (2.30) и выразив r_min:

.

Ответ:

Задача 7.Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R=1см, равномерно заряженным с линейной плотностью  =20нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях а₁ =0,5см и а₂ = 2см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Дано: R=1см  =20нКл/м а1 =0,5см а2 = 2см	10-3 м 2·10-8 Кл 5·10-3 м 2·10-2 м	Решение. Рассмотрим физическую систему, состоящую из заряженного цилиндра и создаваемого им поля. Для определения разности потенциалов используем соотношение (2.12):
( - ?

, (2.31

т.к. цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то напряженность поля в этих точках будет близка к напряженности поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной прямой нитью (1.11):

. (2.32)

Считая точки, в которых ищем потенциал, расположенными вдоль одной силовой линии из (2.31) и (2.32) получим:

. (2.33)

После интегрирования, с учетом того, что r₁=R+a₁ и r₂= R+a₂, будем иметь:

.

После подстановки числовых значений получим: __250 В.

Ответ: 250 В.

Задача 8.Найдите электроёмкость батареи конденсаторов, изображённой на рис.3.1.

Рис. 3.1. Рис.3.2

Дано: С1 С2	Решение. Рассмотрим физическую систему, состоящую из пяти конденсаторов, соединенных в батарею. Вследствие симметрии цепи потенциалы точек А и В (рис.3.1) одинаковы, т.е. напряжение на конденсаторе С2 будет равно нулю:. Значит, конденсатор С2 не
С - ?

заряжен, и можно считать, что между точками А и В участок отсутствует (разрыв цепи). Эквивалентная цепь изображена на рис.3.2. В этом случае конденсаторы на участках MAN и MBN соединены последовательно, а сами участки соединены параллельно. Определим электроёмкости участков MAN и MBN ,они равны между собой и определяются согласно (3.6):

.

Отсюда получим:

. (3.10)

Для параллельно соединенных участков с электроёмкостями , используя (3.5) и (3.10) получим:

Ответ: С=С₁.

Задача 9.Пространство между обкладками конденсатора частично заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Площадь пластины равна S. Найдите электроёмкость конденсатора для случаев, показанных на рис. 3.3 а,б.

Дано: ε S L d l h	Решение. Рис. 3.3
С - ?

Физическая система состоит из конденсатора, частично заполненного диэлектриком. Рассмотрим случай, показанный на рис. 3.3-а. Данный конденсатор можно рассматривать как систему двух параллельно соединенных конденсаторов с электроемкостью С₁ и С₂ (см рис 3.4). Для параллельного соединения конденсаторов электроемкость определяется выражением (3.5)

Рис 3.4

Определим С₁ и С₂ в соответствии с (3.3)

, (3.11)

, (3.12)

здесь S₁ - площадь обкладок конденсатора С₁, S₂ - площадь обкладок конденсатора С₂.

По условиям задачи на рис 3.3.а площадь обкладок равна S=Lb, где b – ширина пластин, b=S/L. Найдем S₁ и S₂:

, (3.13)

(3.14)

Подставим (3.13) и (3.14) в (3.11) и (3.12)

(3.15)

(3.16)

В случае, показанном на рис 3.3.б, конденсатор можно рассматривать как систему двух последовательно соединенных конденсаторов (см. рис 3.5) с электроемкостями С₃ и С₄:

Рис 3.5

(3.17) (3.18)

При последовательном соединении (3.6) электроемкость батареи находится из выражения:

(3.19)

Из (3.19) с учетом (3.17) и (3.18) получим:

Ответ: а) ; б) .

Задача 10. Конденсатор электроёмкостью С₁=3мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁=40В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим конденсатором Электроёмкостью С₂=5мкФ. Определить энергию , израсходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.

Дано: С1= 3 мкФ C2= 5 мкФ U1= 40 B		Решение. Физическая система состоит из двух конденсаторов. Из закона сохранения энергии следует, что энергия, израсходованная на образование искры равна: , (3.34) где WН – начальная энергия физической системы, WК –

конечная энергия этой системы после образования искры.

Начальная энергия – это энергия заряженного конденсатора из (3.7):

. (3.35)

После соединения конденсаторов в батарею энергия системы будет равна:

. (3.36)

где (см. (3.5)) – электроемкость батареи, - напряжение на батарее.

С учетом (3.35), (3.36) и (3.34) получим:

(3.37)

Из закона сохранения заряда следует, что после присоединения второго конденсатора заряд остался прежним. Выразим разность потенциалов из (3.2):

. (3.38)

Подставим (3.38) в (3.37):

,

или после преобразований:

(3.39)

Подставим в (3.39) числовые значения: