1. Гипотеза Бернулли: поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации.

2. Волокна бруса при его деформации не надавливают друг на друга.

Рассмотрим балку, нагруженную следующим образом. Средняя часть балки находится в условиях чистого изгиба (Q_y = 0).

Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями выделим из этого участка элемент длиной dz и изобразим его отдельно. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое при изгибе не изменяется. ρ – радиус кривизны нейтрального слоя.

Определим линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на расстоянии у от нейтрального слоя.

Длина волокон до деформации dz = ρ · dθ

Длина волокон после деформации (ρ + у)dθ

Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину dz, получаем, что абсолютное удлинение волокна

Δ(dz) = (ρ + у)dθ - ρdθ

Относительное удлинение или продольная деформация ε

Применяя закон Гука .

Графическое толкование этой формулы представлено на рисунке.

Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной осью.

Нейтральной осью или нулевой линией называется геометрическое место точек поперечного сечения бруса, в которых нормальные напряжения равны нулю (так как у=0).

Положение нейтральной оси определим из условия, что продольная сила в поперечном сечении равна нулю при чистом изгибе.

Так как Е/ρ ≠ 0 (), то

S_x может быть равно 0 только лишь в случае, если нейтральная ось совпадает с главной центральной осью.

Для определения радиуса кривизны нейтрального слоя используем зависимость между изгибающим моментом и нормальными напряжениями.

Кривизна нейтрального слоя (изогнутой оси бруса) прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна произведению модуля продольной упругости материала бруса на осевой момент инерции его поперечного сечения.

Далее получим

Эта формула – для вычисления нормальных напряжений в произвольной точке поперечного сечения.

Расчеты на прочность при изгибе

Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях.

Прочность балки обеспечена, если наибольшие по модулю нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых.

Опасные сечения – М_х - max – для балки постоянного сечения.

σ_max возникают в точках опасного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной оси.

Числитель и знаменатель разделим на у_max

W_х=I_x / у_max – осевой момент сопротивления сечения является геометрической характеристикой прочности бруса при изгибе.

Осевые моменты сопротивления сечений

1. Круг

2. Кольцо

2. Прямоугольник

h – сторона прямоугольника, перпендикулярная оси, относительно которой W_х вычисляют.

Наиболее рациональным является то сечение, у которого W_х будет больше, а площадь поперечного сечения А меньше.

Условие прочности при изгибе:

Существует три вида расчетов на прочность:

1) проверочный

Недогрузка – до 10%, перегрузка – до 5%.

2) проектный

3) определение допускаемой нагрузки

Перемещения при изгибе

В ряде случаев работающие на изгиб элементы машиностроительных и строительных конструкций должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жесткость. На жесткость рассчитывают валы зубчатых и червячных передач.

При изгибе различают два вида деформаций:

1. Линейная – центры тяжести поперечных сечений перемещаются вертикально вниз. Эти перемещения называют прогибами V.

Максимальный прогиб называют стрелой прогиба f.

2. Угловая – поперечные сечения поворачиваются вокруг своих нейтральных осей на некоторый угол Θ.

Углом поворота сечения называют угол, заключенный между осью недеформированного бруса и касательной, проведенной из данной точки к оси деформированного бруса.

Изогнутой осью или упругой линией называют геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, т.е. ось изогнутого бруса.

Расчеты на жесткость при изгибе

Условие жесткости: f ≤ f_adm

т.е. максимальный прогиб (стрела прогиба) не должен превышать допускаемого f_adm.

f_adm – зависит от назначения и условий работы конструкции.

f_adm = (0,0005 … 0,001)l для валов и шпинделей металлорежущих станков.

ℓ - расстояние между опорами.

Для подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное условие жесткости – ограничение угла поворота опорных сечений Θ_max ≤ Θ_adm ; Θ_adm = 0,001рад.