2.4. Кручение; срез с кручением

Кручение – такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный силовой фактор – крутящий момент Т.

Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар называют скручивающими моментами (Т_е).

Во всех случаях будем считать, что алгебраическая сумма скручивающих моментов равна нулю, то есть брус находится в равновесии.

Крутящий момент, возникающий в произвольном поперечном сечении бруса, определяется с помощью метода сечений. Он численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных к оставленной части.

Знак крутящего момента не имеет физического смысла, но для определённости при построении эпюр условимся о следующем правиле знаков:

Считаем крутящий момент положительным, если для наблюдателя, смотрящего на проведённое сечение, он представляется направленным по часовой стрелке и отрицательным, если против часовой стрелки.

График, показывающий закон изменения крутящих моментов по длине бруса, называется эпюрой крутящих моментов.

Чистый сдвиг – это частный случай плоского напряжённого состояния, при котором в окрестности данной точки можно выделить элемент таким образом, чтобы на четырёх его гранях были только равные между собой касательные напряжения, а две грани свободны от напряжений.

Закон парности касательных напряжений:

Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках направлены оба одновременно либо к ребру, либо от ребра пересечения площадок, на которых они возникают.

Деформация сдвига состоит в том, что под действием внешних сил первоначальная форма выделенного элемента искажается, то есть, например, горизонтальные площадки сдвигаются относительно друг друга на расстояние Δdz, называемое абсолютным сдвигом, и угол 90⁰ между смежными площадками изменяется на величину γ – угол сдвига (угловая деформация), который является мерой деформации сдвига и выражается в радианах.

Закон Гука при сдвиге: в пределах упругих деформаций между углом сдвига и касательными напряжениями существует прямо пропорциональная зависимость.

где G – модуль сдвига (модуль упругости 2-го рода) – упругая постоянная материала, характеризующая его жёсткость при сдвиге.

В среднем для стали G=8·10⁴МПа=8·10¹⁰Па.

Для одного и того же материала между модулем упругости Е, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона существует зависимость

Теория бруса круглого поперечного сечения или кольцевого поперечного сечения основана на следующих допущениях:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации (гипотеза Бернулли).

2. Радиусы поперечных сечений при деформации бруса не искривляются.

3. Материал бруса при деформации следует закону Гука.

Рассмотрим брус, жёстко защемлённый одним концом и нагруженный на свободном конце скручивающим моментом. При деформации бруса его поперечные сечения повернутся на некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению (по отношению к заделке). Угол поворота будет тем больше, чем дальше отстоит данное сечение от заделки.

φ – угол закручивания.

Угол поворота произвольного сечения равен углу закручивания части бруса, заключённой между этим сечением и заделкой.

Выразим крутящий момент через касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении. В любой точке поперечного сечения касательное напряжение направлено перпендикулярно радиусу, проведённому в эту точку (так как при повороте поперечного сечения каждая его точка перемещается по дуге окружности).

Касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону.

При кручении происходит деформация сдвига в результате вращательного движения одного поперечного сечения относительно другого.

Формула для определения касательных напряжений:

где I_р – полярный момент инерции сечения;

ρ – радиус;

Т – крутящий момент.

В точках равноудалённых от центра сечения, напряжения одинаковы. Наибольшего значения касательные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения.

Введём обозначение

Wp – полярный момент сопротивления сечения. Является геометрической характеристикой прочности бруса круглого поперечного сечения при кручении (м³; см³; мм³).