Колебания и волны

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Например, качание маятника, переменный ток, колебания струны и т.д.

В этих процессах значения определенных величин в той или иной степени повторяются через некоторые промежутки времени.

Физическая природа колебаний может быть различной и поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Но все они описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует единый подход к описанию различных по природе колебаний.

Рассмотрим некоторые виды механических колебаний.

Свободные (собственные) колебания - это колебания, которые совершаются телом или системой тел за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешнего воздействия. Такие колебания могут иметь любые тела и поэтому с практической точки зрения они являются наиболее важными. В абсолютном большинстве эти колебания (в реальных случаях) являются затухающими так как первоначально переданная системе энергия не восполняется извне и постепенно она переходит во внутреннюю энергию.

пример: Шарик на нити начинает колебаться или после сообщения ему потенциальной энергии или после сообщения ему кинетической энергии. Через некоторое время колебания прекращаются.

Вынужденные колебания - это колебания, возникающие под действием внешней периодически повторяющейся силы.

пример: Колебания моста, по которому идут люди, шагающие в ногу.

Автоколебания - особый вид колебаний, сопровождающийся воздействием внешней силы, но в отличие от вынужденных, ее воздействие осуществляется в моменты времени, которые устанавливает сама колебательная система.

пример: Маятник в механических часах.

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, т.е. колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам:

1. Колебания, встречающиеся в природе и технике часто имеют характер близкий к гармоническим.

2. Различные периодические процессы можно представить как наложение нескольких гармонических колебаний.

Введем величины, характеризующие гармонические колебания.

Пусть какая - либо величина S (это может быть координата тела, сила тока и т.д.) колеблется по гармоническому закону.

S = А Sin (wt) (5.1)

Максимальное значение величины S называют амплитудой А.

w - циклическая частота - количество колебаний за 2 секунд.

T - период колебаний - минимальный промежуток времени, через который колебание повторяется. Т.е. повторяется значение S с учетом возрастания или убывания.

Таким образом

T = 2 / w (5.2)

 - частота колебаний - количество колебаний в единицу времени

 = (5.3)

Рассмотрим простейшие примеры колебательной системы.

колебания тела на пружине (случай свободных колебаний)

Пусть тело массы М колеблется на пружине жесткостью k.

Положение тела, при котором пружина не деформирована выбираем за начало отсчета. При своем движении тело колеблется от точки В до точки С. А - амплитуда колебаний.

Для вывода определенных зависимостей заметим, что частица, вращающаяся по окружности с постоянной скоростью совершает движение аналогичное колебаниям тела на пружине. Можно таким образом подобрать скорость частицы, чтобы в любой момент времени координата Х частицы равнялась координате колеблющегося тела и скорость тела равнялась проекции скорости частицы на ось Х.

Из рисунка период вращения частицы

T = 2  A / V (5.4)

Из закона сохранения механической энергии

M V .= k A .

где Vm = V - максимальная скорость тела в точке О. Подставляя в (5.4) получаем

Т = 2 (5.5)

- формула для вычисления периода колебаний тела на пружине.

Особенность полученной формулы в том, что период колебания тела, а значит и частота не зависят от начального удлинения (сжатия) пружины. Собственная частота колебаний оказывается не зависящей от того колеблется система или нет и значит подобно массе, плотности, моменту инерции, собственная частота является величиной постоянной для системы и проявляется лишь в определенной ситуации. Масса проявляет себя при взаимодействии и ускоренном движении, момент инерции при вращательном движении, а собственная частота при выведении системы из положения равновесия и дальнейшем ее колебании.

Пусть частица за некоторый промежуток времени переместилась из точки (а) в (в). За это время она прошла расстояние равное длине дуги ав. Длина дуги окружности радиусом R вычисляется по формуле:

L = A  (учли что радиус окружности равен амплитуде колебаний тела)

с другой стороны для частицы L = V t, a V = 2A / T;

таким образом получаем L = 2  A t / T

приравнивая оба выражения для L, находим  = 2  t / T (5.6)

Учитывая что координата частицы (а значит и тела на пружине) меняется по закону x = Sin  окончательно получаем

x = A Sin( 2  t / T ) (5.7)

Вывод: Тело прикрепленное к пружине в отсутствии трения колеблется по гармоническому закону.

Из данного примера выясним условия для возникновения гармонических колебаний.

а) Сила отвечающая за колебания тела в любой момент времени должна быть направлена к положению равновесия тела (в данном случае - это сила упругости)

б) Эта сила должна быть пропорциональна смещению тела (Fупр Х)

В общем случае если тело колеблется под действием силы для которой выполняются условия а) и б) то однозначно можно сделать вывод о том, что колебания тела будут гармоническими.