Построим график Эмпирической функции

рис.6—График эмпирической функции и полигона

Сравнение полигона относительных частот и нормальной кривой показывает, что построенная кривая удовлетворительно сглаживает полигон

ПУНКТ 8 Интервальные оценки параметров нормального закона распределения

Интервальные оценки параметров нормального закона распределения определяются только в том случае, если подтверждается гипотеза о нормальном распределении. В нашем случае, =33.098 а χ²_крит=7.815

Так как условие < χ²_крит не выполняется, гипотезу о нормальном распределении стоит отвергнуть, следовательно, оценка параметров нормального закона распределения для случайной величины У(среднегодовое превышение нормы), в данной курсовой работе не проводится.

Статистическая обработка случайной велечины х(стаж работы)

ПУНКТ 1 Интервальный и дискретный статистические ряды распределения частот и относительных частот.

Статистическая обработка результатов эксперимента в случае выборки большого объема(n> 50) начинается с группировки выборочных значений, то есть с разбиения наблюдаемых значений СВ на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попаданий значений СВ в частичные интервалы.

Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:

,

где Х_max , X_min –соответственно максимальное и минимальное выборочные значения СВ Х(Стаж работы), n—объем выборки.

Для СВ Х(Стаж работы) n=100, Х_max =11, X_min=6. Следовательно,

В качестве левого конца первого интервала возьмем величину, равную

а₁= X_min--=6--=6—0.35=5.65. Если а_i-начало i-го интервала, тогда

а₂= а₁+h=5.65+0.7=6.35 и т д. Составим таблицу (таб.2)

Таблица.2

Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки

интервалы (аi;ai+1)	середины интервалов	подсчет частот	частоты ni	относит. частоты Wi=ni/n	накопительные относительные частоты
1	2	3	4	5	6
(5.65;6.35]	6		13	0.13	0,13
(6.35;7.05]	6.7		20	0.2	0,33
(7.05;7.75]	7.4		0	0	0,33
(7.75;8.45]	8.1		35	0.35	0,68
(8.45;9.15]	8.8		18	0.18	0,86
(9.15;9.85]	9.5		0	0	0,86
(9.85;10.55]	10.2		11	0.11	0,97
(10.55;11.25]	10.9		3	0.03	1,00

ПУНКТ 2 Гистограмма и полигон относительных частот

Первый и пятый столбцы таблицы 1 составляют интервальный статистический ряд относительных частот, графическое изображение которого—гистограмма относительных частот (ступенчатая фигура на рис.1)

Дискретный статистический ряд относительных частот задается вторым и пятыми столбцами, графическое изображение, которого—полигон относительных частот (изображен на рис.1 ломаной линией)

Рис.1—гистограмма и полигон относительных частот

ПУНКТ 3 Эмпирическая функция распределения и ее график

Эмпирическая функция распределения F^*(х) выборки служит для оценки функции распределения F(х) генеральной совокупности.

Функция F^*(х) определяет для каждого значения х относительную частоту событий Х<х:

F^*(х)=,

где n_x-число выборочных значений, меньших х; n-объем выборки.

Шестой столбец таблицы 1 содержит накопленные частоты, то есть значения эмпирической функции распределения F^*(х), они относятся к верхней границе частного интервала.

Эмпирическая функция распределения F^*(х) имеет вид:

F^*(х)=

График эмпирической функции распределения F^*(х) изображен на рис.2

рис.2—График эмпирической функции распределения

ПУНКТ 4 Числовые характеристики выборки

Для вычисления числовых характеристик выборки (х, Д_х, S_х^*, Э_х^*) удобно использовать таблицу.3,где в первых двух столбцах приведены сгруппированные исходные данные, а остальные столбцы служат для вычисления числовых характеристик

Таблица 3

Таблица для расчета числовых характеристик выборки

середин интервалов хi	Частоты ni	xi—x	(xi—x )ni	(xi—x )2ni	(xi—x )3ni	(xi—x )4ni
1	2	3	4	5	6	7
6	13	-1.988	-25.844	51.378	-102.139	203.053
6.7	20	-1.288	-25.76	33.178	-42.734	55.042
7.4	0	-0.588	0	0	0	0
8.1	35	0.112	3.92	0.439	0.049	0.005
8.8	18	0.812	14.616	11.868	9.637	3.478
9.5	0	1.512	0	0	0	0
10.2	11	2.212	24.332	53.822	119.055	263.350
10.9	3	2.912	8.736	25.439	74.079	215.718
Σ	100	-	0	175.942	57.947	740.646

Выборочное среднее вычисляется по формуле:

,

где m—число интервалов, х_i—середины интервалов

Выборочное среднее дает усредненное значение стажа работы для данной выборки.

Выборочную дисперсию для сгруппированных данных вычисляют по формуле:

1.3

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по формуле:

. Для СВ Х S_х=

Оно показывает разброс выборочных значений х_i, относительно выборочного среднего х=7.988

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам:

Используя суммы из последних строк шестого и седьмого столбцов таблицы 3,

получим:

0 говорит о несимметричности полигона (гистограммы) относительно выборочного среднего х(стажа работы).

Отрицательность выборочного коэффициента эксцесса показывает, что полигон

менее крут, чем нормальная кривая

ПУНКТ 5 Предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины Х(стажа работы)

Мы предварительно предполагаем, что СВ Х(стаж работы) распределена нормально по совокупности следующих признаков.

Вид полигона и гистограммы относительных частот напоминает нормальную кривую (кривую Гаусса)

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса

отличаются от значений асимметрии и эксцесса для нормального распределения (которые равны нулю) не более чем на утроенные средние квадратические ошибки

их определения.

,

,

где

Можно предположить, что стаж работы (СВ Х) изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе.

Итак, по совокупности указанных признаков можно предположить, что распределение СВ Х является нормальным

ПУНКТ 6 Точечный оценки параметров нормального закона распределения

Функция плотности нормального распределения имеет вид

В качестве неизвестных параметров а и σ возьмем их точечные оценки 7.988 и S_х= соответственно. Тогда дифференциальная f(x) и интегральная функции F(x) предполагаемого нормального закона распределения примут вид:

;

ПУНКТ 7 Гипотеза том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения

Гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по предлагаемому нормальному закону, назовем нулевой

(Н_о:Х N(a,σ)), тогда Н_а:Х N(a, σ)

Проверяем ее с помощью критерии согласия χ² Пирсона.

Согласно критерию Пирсона сравниваются эмпирические n_i(наблюдаемые) и теоретические np_i(вычисленные в предложении нормального распределения)

частоты. В качестве критерия проверка нулевой гипотезы принимается случайная величина.

По таблице критических точек распределения χ² по заданному

уровню значимости а и числу степеней свободы v=S-r-1 находим критическое

значение χ²_крит(а,v)

Если проверяется гипотеза о нормальном распределении, то вероятности p_i рассчитываются с помощи функции Лапласа Ф(х):

где х=7.988, S_x=1.326

Вычисления сведем в таблицу.3 Количество интервалов S=6.

Так как предполагается нормальное распределение имеющее два параметра(математическое ожидание а и среднее квадратические отклонение σ), поэтому r=2, тогда число степеней свободы v=S-r-1=6-2-1=3

Таблица 3

Расчетная таблица для вычисления

интервалы (хi;хi+1)	частоты эмпирические ni	Вероятности рi	Теоретические частоты npi
(-∞;6.35]	13	0.10935	10.93	0.3920
(6.35;7.05]	20	0.12335	12.34	4.7549
(7.05;7.75]	0	0.19588	19.59	19.59
(7.75;8.45]	35	0.20825	20.83	9.6576
(8.45;9.15]	18	0.17374	17.37	0.0228
(9.15;9.85]	0	0.10867	10.87	10.87
(9.85;10.55]	11	0.005396	5.40	5.8074
(10.55;+ ∞]	3	0.05396	2.68	0.0358
Σ	100	1.00	100	51.130

Значение =51.130

В таблицах критических точек распределения по уровню значимости а=0.05 и числу степеней свободы v=3 найдем критическое значение χ²_крит(0.05,3) =7.815

Так как условие < χ²_крит не выполняется будем считать, что гипотеза не согласуется с экспериментальными данными и ее надо отвергнуть

Построим график Эмпирической функции

рис.3—График эмпирической функции и полигона

Сравнение полигона относительных частот и нормальной кривой показывает, что построенная кривая удовлетворительно сглаживает полигон

ПУНКТ 8 Интервальные оценки параметров нормального закона распределения

Интервальные оценки параметров нормального закона распределения определяются только в том случае, если подтверждается гипотеза о нормальном распределении. В нашем случае, =51.130 а χ²_крит=7.815

Так как условие < χ²_крит не выполняется, гипотезу о нормальном распределении стоит отвергнуть, следовательно, оценка параметров нормального закона распределения, в данной курсовой работе не проводится.

ПУНКТ 9 Корреляционный анализ

Проведем корреляционный анализ выборочных данных случайных величин Х(стажа работы) и У(среднегодовое превышение нормы).

а) Составляем корреляционную таблицу.

Для случайной величины Х(стажа работы) выбраны следующие интервалы:

(5.65;6.35] , (6.35;7.05], (7.05;7.75], (7.75;8.45], (8.45;9.15], (9.15;9.85], (9.85;10.55], (10.55;11.25]

Для случайной величины У(среднегодовое превышение нормы):

(1.6;2.4], (2.4;3.2], (3.2;4], (4;4.8], (4.8;5.6], (5.6;6.4], (6.4;7.2], (7.2;8]

Подсчитываем количество пар исходной выборки (х_i,y_i), попадающих в прямоугольники, образованные границами интервалов(Таблица.8). Для этого принадлежность пары (х_i,y_i) к определенному прямоугольнику отмечаем внутри этого прямоугольника точкой.

Таблица 8

Таблица для частот n_ху пар значений (х_i;y_i)

интервалы для У	интервалы для Х
	(5.65; 6.35]	(6.35; 7.05]	(7.05; 7.75]	(7.75; 8.45]	(8.45 ;9.15]	(9.15; 9.85]	(9.85; 10.55],	(10.55; 11.25]
(1.6;2.4]
(2.4;3.2]
(3.2;4]
(4;4.8]
(4.8;5.6]
(5.6;6.4]
(6.4;7.2]
(7.2;8]