- •§1. Постановка задачи.....................................................................46
- •§1. Основные понятия..................................................................61.
- •§1. Основные понятия.................................................................81
- •§1 Основные понятия.
- •§ 2 Классификация моделей
- •§ 3 Классификация решаемых экономических задач.
- •Классификация решаемых экономических задач.
- •Глава 2. Линейное программирование
- •§ 1 Общая постановка задачи
- •§ 2 Двойственность в задачах линейного программирования
- •Правила построения двойственной задачи по имеемой прямой задаче:
- •§ 3 Теоремы двойственности.
- •§4 Решение задач линейного программирования геометрическим методом
- •Алгоритм геометрического метода решения задач лп.
- •Рассмотрим задачу.
- •§ 5 Симплексный метод решения задач лп
- •Глава 3. Транспортная задача
- •§ 1 Постановка задачи.
- •§ 2 Алгоритм решения транспортных задач.
- •Метод наименьшего элемента.
- •Метод потенциалов.
- •§ 3 Примеры решения транспортных задач.
- •1.Проверяем задачу на сбалансированность.
- •Составляем математическую модель прямой и двойственной задач.
- •Решаем задачу по методу максимального элемента.
- •Глава 4 . Целочисленное программирование
- •§ 1 Постановка задачи целочисленного программирования.
- •§ 2 Графический метод решения задач целочисленного программирования.
- •Алгоритм графического решения задачи целочисленного программирования.
- •§ 3 Пример решения задачи целочисленного программирования.
- •Контрольные вопросы.
- •Глава 5 . Динамическое программирование
- •§1. Постановка задачи.
- •§2. Принцип оптимальности Беллмана.
- •§3. Задача распределения средств на 1 год
- •§4. Задача распределения средств на два года
- •Глава 6 . Управление производством.
- •§ 1 Управление производством.
- •§ 2 Управление запасами .Складская задача.
- •Глава 7. Теория игр.
- •§1 Основные понятия.
- •§2 Антагонистические игры.
- •Геометрический способ решения антагонистических игр
- •§3 Игры с « природой».
- •Пример №1
- •2. Критерий Гурвица.
- •3. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска).
- •4. Критерий Лапласа. N
- •Пример №2
- •Глава 8. Системы массового обслуживания
- •§I. Формулировка задачи и характеристики смо
- •§2 Смо с отказами
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Формулы для расчета установившегося режима
- •§3 Смо с неограниченным ожиданием
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Формулы для расчета установившегося режима
- •§4 Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
- •4.1 Основные понятия
- •4.2Формулы для установившегося режима
- •§5 Примеры решения задач.
- •Глава 9 нелинейное програмирование.
- •§1 Основные понятия.
- •§2 Математическая модель задачи.
- •§3 Безусловный экстремум
- •§4 Условный экстремум
- •Глава 10 . Сетевое планирование.
- •§1 Основные понятия метода сетевого планирования
- •Работа, события, путь.
- •Любая работа соединяет только 2 события.
- •§2 Расчет сетевых графиков
- •Содержание практических занятий
- •Рекомендуемая литература:
§4 Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
4.1 Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной.
Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.
Ограничения на длину очереди могут быть из-за:
-
ограничения сверх времени пребывания заявки в очереди;
-
ограничения сверх длины очереди;
-
ограничения общего времени пребывания заявки в системе.
4.2Формулы для установившегося режима
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):
P0=1 : {Σ ρк/к!+ρn+1/n!(n-ρ)[1-(ρ/n)m]}
n – число каналов;
m – длина накопителя;
ρ – интенсивность нагрузки;
К – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.
2. Вероятность отказа в обслуживании: Pотк= ρn+m/n!n m*P0
3. Вероятность обслуживания: Робс= 1- Pотк
4. Абсолютная пропускная способность: A=λ Робс
5. Среднее число занятых каналов: _
n3=A/μ= λ Робс/μ=ρ Робс, где ρ=λ/ μ
6. Среднее число заявок в очереди:
_
Lоч= ρn+1/n*n! * 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) / (1-ρ/n)2 * P0
7. Среднее время ожидания обслуживания: _ _
tоч= Lоч/λ
_ _ _
8. Среднее число заявок в системе: z= Lоч+ n3
_
-
Среднее время пребывания в системе: tсмо= z/λ
§5 Примеры решения задач.
Пример № 1.
Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки поступают с интенсивностью 90 звонков/час. Средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.
Определить характеристики дежурного администратора как системы массового обслуживания.
Решение:
1. Классифицировать СМО:
-
с отказами (нет накопителя);
-
многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).
2. Обозначения:
λ – интенсивность потока заявок (λ=90зв/60мин=3зв/2мин)
n – число каналов (n=5);
μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (μ=1/ tобс)
tобс – среднее время обслуживания (tобс=2мин)
ρ – интенсивность нагрузки;
k – номер заявки (число заявок), k=n=5;
Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;
Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;
Робс – вероятность обслуживания.
nз = ρ* Робс - среднее число занятых обслуживанием каналов.
кз = nз / n - для каналов, занятых обслуживанием.
А = λ Робс - абсолютная пропускная способность СМО.
3. Определяем характеристики данной СМО:
а) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = 3/2 * 2 = 3
n
б) Ро= 1/ (Σρк/к!) = 1/ (ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+(ρ3/3!)+(ρ4/4!)+(ρ5/5!)=
к=0
=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+
+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054
в) Ротк= ρn/ n!* Ро= (35/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=
= (243/120)*0,054=0,12
г) Робс = 1- Ротк= 1-0,12=0,88
д) nз = ρ*Робс= 3*0,88=2,6
е) кз = nз / n = 2,6/5=0,52
ж) А = λ Робс = (3/2)*0,88 = 1,31.
Пример № 2.
На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом находится площадка на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин. Среднее время нахождения водителя в магазине 2 мин.
Определить характеристики этой СМО.
Решение:
1) Классифицируем СМО:
- с ограниченной длиной очереди
- с накопителем
- многоканальная
- с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.
2) Обозначения:
m=2 - длина накопителя
n=2 - число каналов
Остальные обозначения - как в Примере № 1.
3) Определяем характеристики данной СМО:
а) λ = 1/3;
б) tобс = 2 мин;
в) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = (1/3)*2=2/3.
г) Вероятность простоя каналов:
n
Ро= 1/(Σρк/n!)+ρn+1/n!(n-ρ)*[1-(ρ/n)m]= 1/ ((ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+
к=0
+(ρ2+1/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)2]=1/ ( (2/3)/0! )+2/3+( (2/3)2/(1*2) )+
+( (2/3)3/ 2(2-2/3) ) [1- ( (2/3)/2 )]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52
д) Вероятность отказа в обслуживании:
Ротк= ρn+m/ n!nm*Ро= ( (2/3)4/1*2*22 )*0,52=(16/81)/8*0,52=0,013
е) Вероятность обслуживания:
Робс = 1- Ротк= 0,987
ж) Абсолютная пропускная способность:
А = λ Робс= 0,987*1/3=0,33
з) Среднее число занятых каналов:
nз = ρ*Робс= 2/3*0,987=0,658
Для каналов, занятых обслуживанием:
кз = 0,658/2=0,329.
и) Среднее число заявок в очереди:
_
Lor= ρn+1/n*n! * ( 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) )/(1-ρ/n)2 * Ро
_
Lor =( (2/3)3/(2*2) )* 1-( (2/3)/2)2 )*( 2+1-2*((2/3)/2) )/ (1-(2/3)/2)2) *0.52
=(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14
к) Среднее время ожидания обслуживания:
_
tor= Lor/ λ = 0.14/0.33=0.42
л) Среднее число заявок в системе:
_
Z= Lor+ nз =0,14+0,66=0,8
м) Среднее время пребывания в системе:
tсмо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или tсмо= tor+ toбс= 0,42+2=2,42 мин
Контрольные вопросы:
-
Что понимается под системами массового обслуживания (СМО) и для чего они предназначены?
-
Какие блоки включает схема СМО?
-
Что понимается под характеристикой эффективности работы СМО?
-
На какие классы делятся СМО в зависимости от :
а) характера потоков,
б) числа каналов,
в) дисциплины обслуживания,
г) ограничения потока заявок,
д) количества этапов обслуживания?
-
Что понимается под «потоком обслуживания заявок»?
-
Что представляет собой интенсивность входящего потока и какова единица измерения этого показателя?
-
Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами ?
-
Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди?
-
Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с неограниченным ожиданием?