- •2.Сформулируйте теорему Ролля.
- •Дайте определение интеграла с переменным верхним пределом. Докажите теорему Ньютона-Лейбница для определенного интервала.
- •5 Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •4. Дайте определение предела ф-ции двух переменных в точке. Имеет ли ф-ция предел в точке (0,0)?
- •1. Докажите ограниченность сходящейся последовательности.
- •2. Сформулируйте теорему Роля. В чем состоит ее геометрический смысл.
- •3. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •6. Найти производную функции f(X,y) в точке м по заданному направлению:
- •1. Дайте определение предела последовательности. Может ли последовательность иметь два предела? Ответ обоснуйте.
- •2. Дайте определение дифференциала ф-ции в точке. Используя дифференциал, найдите приближенное значение для: ln 1,05.
2. Сформулируйте теорему Роля. В чем состоит ее геометрический смысл.
Теорема Ролля
Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .
Геометрический смысл. Геометрический смысл теоремы Ролля: если функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая внутри ее, на концах этого отрезка принимает одинаковые значения, то хотя бы в одной внутренней точке этого отрезка касательная к графику функции параллельна оси Ох (Рис. 5.6.2).
3. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что при всех n (или, начиная с некоторого n) выполняется неравенство (*), то ряд сходится. Если же для всех или начиная с некоторого n, то ряд расходится.
Доказательство. Отбросив, если необходимо, несколько первых членов ряда, можно считать, что неравенство (*) выполняется для всех п=1, 2, …Перепишем это неравенство в виде . Отсюда имеем и т. д.; вообще, при любом п справедливо неравенство . Это показывает, что члены ряда . Не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии . Поскольку по условию <1, эта прогрессия сходится. В силу первого признака сравнения сходится и данный ряд. В случае, когда , имеем неравенство , т. е. члены ряда образуют неубывающую последовательность, и поэтому не выполняется необходимый признак сходимости ряда, что доказывает теорему полностью.
4. Найдите предел последовательности: lim (- n)sin(n²+25) (=)
n→∞
sin(n²+25)≤1 => sin (n²+25) – огранич.
Lim = lim = 0 – бесконечно малое
n→∞ n→∞
(=) б.малое огр. = 0.
5. Найти интеграл: dx = dx =dx +dx (=)
(x²+8x+16) – 16 + 17= (x+4) ² +1
t = (x+4) ² + 1
dt = 2(x+4)dx
(x+4)dx =
dx = dt = 5ln + C = 5ln + C
(=) 5ln + 4arctg(x+4) + C
6. Найти производную функции f(X,y) в точке м по заданному направлению:
f(x,y) = 5x³ +3xy – 2y³, М(-1,1) по направлению вектора (3,4):
-
f ‘(x) = 15x² + 3y
-
f ‘(y) = 3x – 6y
grad (f) = ( 15x² + 3y; 3x – 6y)
grad (f) = (18; -9)
2) (3;4) = = 5
3) = = = = 3
7. Решите дифференциальное уравнение: y’’ + 2y’ – 3y = (-12x +4)e
-
y’’ + 2y’ – 3y = 0
λ² + 2λ -3 = 0
λ = -3 λ = -1
y= c e + ce
-
ŷ = (Ax + B)e
ŷ’ = Ae + e(Ax + B)
y” = Ae+ (Ax + B) e + Ae= 2Ae + (Ax + B)e
2Ae+ (Ax + B) e + 2A e + 2 e(Ax + B) – 3(Ax + B) e = (-12x + 4) e
2A + (Ax + B) + 2A + 2 (Ax + B) – 3(Ax + B) = (-12x + 4)
4A = -12x + 4
4A = 4
A = 1
ŷ = e
Вывод: y = c e + ce+ e
8. Исследуйте сходимость ряда: =
t = x+3
a= ; a=
1) R = lim = 3
n→∞
2) Интервал сходимости: x принадл.: (-6;0)
-3<t<3
-3< x+3< 3
-6 < x < 0
-
x = -6:
= ;
↓ 0 по признаку Лейбница => ряд условно сходится.
x= 0: – расходится
Область сходимости: x принадл.
Билет 2
Билет №2