- •2.Сформулируйте теорему Ролля.
- •Дайте определение интеграла с переменным верхним пределом. Докажите теорему Ньютона-Лейбница для определенного интервала.
- •5 Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •4. Дайте определение предела ф-ции двух переменных в точке. Имеет ли ф-ция предел в точке (0,0)?
- •1. Докажите ограниченность сходящейся последовательности.
- •2. Сформулируйте теорему Роля. В чем состоит ее геометрический смысл.
- •3. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •6. Найти производную функции f(X,y) в точке м по заданному направлению:
- •1. Дайте определение предела последовательности. Может ли последовательность иметь два предела? Ответ обоснуйте.
- •2. Дайте определение дифференциала ф-ции в точке. Используя дифференциал, найдите приближенное значение для: ln 1,05.
4. Дайте определение предела ф-ции двух переменных в точке. Имеет ли ф-ция предел в точке (0,0)?
Число A называется пределом ф-ции z=f(M) в точке , если для любой сходящейся к последовательности точек , соответствующая последовательность значений ф-ции сходится к А.
Обозначение: или .
Рассмотрим 2 последовательности точек из D(f), сходящихся к точке (0,0).
Тогда рассмотрим последовательность
По определению предела данной ф-ции в точке (0;0) не существует.
5. Исследовать на сходимость гармонический ряд,
Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как lim a = lim 1/n = 0. Если бы данный ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели
lim(S2n -Sn) = lim S2n - lim Sn =S-S = 0.(*)
Но
S2n -Sn =
т.е. S2n-Sn> 1/2, что противоречит равенству (*)
Тем не менее, гармонический рад расходится очень медленно, что можно увидеть из следующих значений его частичных сумм:
S10= 2,929; S100= 5,187; S1000= 7,485; S10000= 9,788.
6.
7.
8.в т. М(-2;2) по напр =(-3;2)
.
В т.М(-2;2):
9.
10. , интервал сходимости: (-1;1)
Область сходимости:
-
x=-1.
-
x=1,
Обл.сход: (-1;1]
Билет 3
(x,y) = -x+8y+8
+ X2 + Y2 = 1 D = { (x,y) + X2 + Y2 = 1}
-
f x = -1
-
f y = 8
Стационарных точек внутри нет.
-
Исследуем на границе:
L(x,y) = -x+8y+8 + (+ X2 + Y2 – 1) L x = -1 + Ly = 8 + 2y -1 + = 0 X= 8 + 2y = 0 => Y = + X2 + Y2 = 1 => => 1==4 2=-= -4
-
1= 4 2) 1= - 4 X= 4 X= - 4
Y= - Y= f(4 ; -) = - 4- 4+8 = -8+8 Наибольшее знач.
f(-4 ; ) = + 4+ 4+8 = -8+8 Наименьшее знач.
Билет 10
1 Если функции и дифференцируемы в точке то сумма этих функций также дифференцируема и выполняется следующая формула: .
Доказательство: Пусть приращения функций вычисляются только в точке , так что
Нетрудно видеть, что приращение суммы равно сумме приращений . Действительно
Поэтому
2. Пусть функция y=f(x) не ограничена на отрезке [a,b],но интегрируема на любом меньшем отрезке, где . Тогда если существует конечный предел , то его принимают за несобственный интеграл от неограниченной функции f(x):
сходится при т.е при .
3.
Билет 1
Билет №1
1. Докажите ограниченность сходящейся последовательности.
Любая сходящаяся последовательность ограничена
limn→∞xn=a ⇒ ε>0 no(ε)∈N: n≥n0⇒ xn∈Ua(ε)
Начиная с n0 члены последовательности лежат в Ua(ε), конечное число начальных членов последовательности лежит вне Ua(ε). Очевидно, что найдется [c;d], который “накроет” как интервал (a-ε;a+ε), так и все начальные члены последовательности, не входящие в интервал.