- •Розділ 1 Елементи теорії похибок та дії з наближеними числами
- •Тема 1. Обчислювальний експеримент і його похибки
- •1. Поняття про обчислювальний експеримент.
- •Постановка задачі. Цей етап полягає у змістовному (фізичному) формулюванні задачі і визначенні кінцевої мети її розв’язання.
- •2. Джерела і класифікація похибок
- •1) Похибки математичної моделі.
- •2) Похибки вихідних даних
- •3) Похибка чисельного метода.
- •3) Похибки округлення.
- •3. Представлення чисел в комп’ютері Машинний нуль, машинна нескінченність.
- •1) Зображення у формі з плаваючою комою.
- •4. Поняття похибки наближення Абсолютна та відносна похибки
- •5. Машинний епсілон
- •6. Число вірних значущих цифр наближеного числа. Правила округлення
- •Правила округлення:
- •Тема 2. Похибки обчислень
- •7. Дії над наближеними числами Похибки обчислень
- •8. Похибки функцій
- •9. Правила підрахунку цифр
- •10. Коректність та обумовленість задачі
8. Похибки функцій
Поряд з наведеними вище правилами обчислення похибок деяких дій над наближеними числами можна записати аналогічні правила і для обчислення значень функцій, аргументами яких є наближені числа. Найбільш повним є загальне правило, засноване на обчисленні приросту (похибки) функції при заданих приростах (похибках) аргументів.
Розглянемо функцію однієї змінної . Нехай – наближене значення аргументу , – його абсолютна похибка. Абсолютну похибку функції можна вважати її приростом, який вона набуває при зміні аргументу на . З курсу математичного аналізу відомо (), що цей приріст можна замінити диференціалом:
.
Тоді для абсолютної похибки функції отримаємо вираз:
.
Аналогічний вираз можна записати для функції декількох змінних. Так, для абсолютної похибки функції , наближені значення аргументів якої відповідно, абсолютна похибка має вигляд:
, (4)
де ,, – абсолютні похибки аргументів.
Формула (4) називається загальною формулою похибок.
Відносна похибка знаходиться за формулою:
. (5)
Отримані співвідношення можна використовувати для виведення похибок довільної функції. Зокрема, таким способом легко отримати вирази правил 1-3 обчислення похибок.
Приклад 6. Обчислити і визначити похибки результату, використовуючи загальну формулу похибок:
,
де , , .
Розв’язання. Обчислимо (див. Приклад 5.)
.
За загальною формулою похибок:
.
.
9. Правила підрахунку цифр
Точний підрахунок похибок результатів обчислень наближених чисел досить громіздкий. Тому здебільшого на практиці користуються наступними правилами підрахунку цифр:
-
При додаванні і відніманні наближених чисел молодший збережений розряд результату має бути найбільшим серед розрядів, що виражаються останніми значущими цифрами вихідних даних.
-
При множенні і діленні наближених чисел у результаті потрібно зберегти стільки значущих цифр, скільки їх має наближене дане з найменшою кількістю значущих цифр.
-
При піднесенні до квадрата або до куба в результаті потрібно зберегти стільки значущих цифр, скільки їх має число, яке підносять до степеня.
-
При добуванні кореня в результаті потрібно брати стільки значущих цифр, скільки їх у підкореневому виразі.
-
При обчисленні проміжних результатів потрібно брати на одну-дві цифри більше, ніж рекомендують попередні правила.
-
Якщо дані можна брати з довільною точністю, то, щоб знайти результат з правильними цифрами, дані потрібно брати з такою кількістю цифр, яка забезпечує правильну цифру в результаті, відповідно до правил 1-4.
Приклад. Обчислити, користуючись правилами підрахування цифр:
, де , .
Розв’язання. Маємо:
.
Відповідь: .
10. Коректність та обумовленість задачі
Розглянемо питання коректності задачі. Більшість задач, які доводиться розв’язувати, можна записати у вигляді , де – деяка відома величина, – шукана величина, – задана функція (оператор). Величини і можуть бути числами, масивами чисел, функціями однієї чи багатьох змінних тощо.
Задача називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вихідних даних з деякого класу розв’язок існує, єдиний і стійкий за вхідними даними.
Стійка за вхідними даними та задача, розв’язок якої неперервно залежить від вхідних даних, тобто для таких задач , коли . Якщо ця умова не виконується, то задача називається нестійкою за вхідними даними. У цьому випадку навіть незначна похибка у вхідних даних може викликати як завгодно великі похибки в розв’язку, тобто розв’язок може бути зовсім спотворений. Прикладом некоректної задачі є задача диференціювання.
Якщо для похибок розв’язку і вхідних даних існує співвідношення
,
де – досить велика константа, то задача формально стійка, але неусувна похибка в цьому випадку може бути значною. Це випадок так званої слабкої стійкості (слабкої обумовленості). Параметр називають числом обумовленості задачі. Очевидно, що чим більше значення , тим гірше обумовлене завдання. Класичним прикладом погано обумовленої задачі є знаходження кореня полінома високого порядку.
Із слабкою обумовленістю ми зустрінемося, наприклад, при розв’язуванні систем лінійних алгебраїчних рівнянь, визначник яких близький до нуля. Для таких систем похибки в коефіцієнтах системи або похибки округлення при розрахунках можуть призвести до результату, далекого від шуканого розв’язку.