- •Розділ 1 Елементи теорії похибок та дії з наближеними числами
- •Тема 1. Обчислювальний експеримент і його похибки
- •1. Поняття про обчислювальний експеримент.
- •Постановка задачі. Цей етап полягає у змістовному (фізичному) формулюванні задачі і визначенні кінцевої мети її розв’язання.
- •2. Джерела і класифікація похибок
- •1) Похибки математичної моделі.
- •2) Похибки вихідних даних
- •3) Похибка чисельного метода.
- •3) Похибки округлення.
- •3. Представлення чисел в комп’ютері Машинний нуль, машинна нескінченність.
- •1) Зображення у формі з плаваючою комою.
- •4. Поняття похибки наближення Абсолютна та відносна похибки
- •5. Машинний епсілон
- •6. Число вірних значущих цифр наближеного числа. Правила округлення
- •Правила округлення:
- •Тема 2. Похибки обчислень
- •7. Дії над наближеними числами Похибки обчислень
- •8. Похибки функцій
- •9. Правила підрахунку цифр
- •10. Коректність та обумовленість задачі
4. Поняття похибки наближення Абсолютна та відносна похибки
Нехай – точне, але, як правило, невідоме значення деякої величини, а – її відоме наближене значення (наближення). У цьому випадку пишуть .
Означення. Абсолютною похибкою деякого числа називається абсолютна величина різниці між його істинним значенням і наближеним значенням, отриманим в результаті обчислення або вимірювання. Позначається .
.
Означення. Відносною похибкою деякого числа називається відношення його абсолютної похибки до модуля наближеного значення . Позначається .
.
Зауваження. В загальному випадку має розмірність величини , а – безрозмірна величина. Часто обчислюється в процентах, тоді вона множиться на 100%.
Оскільки істинне значення величини звичайно невідоме, то наведені вирази для похибок практично не можуть бути використані. Є лише наближене значення і для нього вводиться поняття граничної похибки.
Означення. Граничною абсолютною похибкою наближення називається число , яке не менше абсолютної похибки, тобто
(1)
Розкриваючи в останній нерівності модуль, отримаємо відрізок, який містить точне значення :
.
Граничною відносною похибкою наближення називається відношення граничної абсолютної похибки до модуля числа :
(2)
Звідси випливає наступне співвідношення, яке часто застосовується на практиці:
.
Далі розглядатимемо тільки граничні абсолютну і відносну похибки, для скорочення опускаючи слово "гранична". Також для спрощення запису покладемо
; .
Приклад 1. Знайти абсолютну і відносну похибки числа , заданого а) двома; б) трьома цифрами після коми.
Розв’язання. а) Нехай . Тоді за формулою (1)
: ;
за формулою (2):
: .
б) Нехай . Тоді за формулою (1)
: ;
за формулою (2):
: .
5. Машинний епсілон
Оцінимо величину похибки подання дійсного числа в машинній системі числення. Два найближчих машинних числа можуть бути представлені у вигляді:
;
.
Абсолютна «відстань» між ними дорівнює:
,
а відносна «відстань» визначається виразом:
Звідси ясно, що похибка подання будь-якого дійсного числа , такого, що , задовольняє нерівності:
(3)
де – машинне подання дійсного числа .
Права частина нерівності (3) називається машинним епсилоном і позначається . Машинний епсилон – найважливіший параметр обчислювальної системи. Він характеризує відносну помилку подання дійсних чисел в пам'яті комп'ютера у формі з плаваючою комою. Отримані вирази дають підставу стверджувати, що будь-яке число в інтервалі у машинному поданні не буде відрізнятися від 1. Звідси випливає простий алгоритм обчислення машинного епсилона:
Крок 1. ;
Крок 2. Якщо , то ;
Крок 3. .
6. Число вірних значущих цифр наближеного числа. Правила округлення
Наведені оцінки похибок наближених чисел справедливі, якщо в записі цих чисел всі значущі цифри вірні. Нагадаємо означення цих понять.
Запишемо додатне число у вигляді скінченного десяткового дробу:
,
або
,
де всі коефіцієнти і менші за число 10.
Означення. Значущими цифрами наближеного числа називаються всі цифри в його записі, починаючи з першої ненульової зліва.
Приклад 2. Виділити значущі цифри наступних чисел:
1) 0,037; 2) 14,80; 3) 0,00167; 4) 3250000; 5) 0,00005.
Розв’язання. Виділимо значущі цифри підкреслюванням. За означенням:
1) 0,037; 2) 14,80; 3) 0,00167; 4) 3250000; 5) 0,00005.
Означення. Перші значущих цифр наближеного числа називаються вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перебільшує половини одиниці розряду, який відповідає -й значущій цифрі, тобто
.
Зайві збережені цифри, крім вірних, називаються сумнівними.
Обчислити наближене число з точністю означає, що необхідно зберегти вірною значущу цифру, яка стоїть в -му розряді після коми.
На практиці при виконанні обчислень часто виникає потреба в округленні наближеного числа.
Означення. Округленням наближеного числа називається заміна його числом з меншою кількістю значущих цифр.
Для округлення числа до значущих цифр треба відкинути всі його цифри, які стоять справа від -ї значущої цифри. При цьому користуються наступними правилами: