2.3. Закон изменения количества движения

Согласно этому закону изменение количества движения системы материальных точек на каком-либо элементарном пере­мещении равно импульсу всех внешних сил, действовавших на точки системы за время этого перемещения.

Рис. 2.2 к выводу закона из­менения количества движения

Рассмотрим отсек 1-2 (рис. 2.2) потока газа конечных размеров в некоторый момент времени. За время система материальных точек, входящих в отсек 1-2, переместится и примет новое положение 1' - 2'. Пусть движение установившееся. Тогда масса газа в отсеке 1' - 2 ( на рис. 2.2 отсек с двойной штриховкой ) останется неизменной, скорости во всех точках также постоянны. Поэтому количество движения системы материальных точек отсека 1'- 2 не изменится. Следователь­но, изменение количества движения будет равно разнице коли­чества движения отсеков 2-2' и 1-1'. Однако при установив­шемся течении масса газа в обоих отсеках одинакова, обозна­чим ее через и выразим через среднюю скорость потока в сечениях 1-1 и 2-2

,

где и - площадь первого и второго сечений потока; - скорость потока и плотность газа в сечении 1-1; - скорость потока и плотность газа в сече­нии 2-2,

Запишем количество движения для отсеков 1-1 и 2-2

_(2.6)

где и - вектора скорости потока в сечениях 1-1 и 2-2, соответственно.

Учитывая изложенное, можно представить математически закон изменения количества движения для установившегося потока газа в виде

где - главный вектор всех внешних сил, действующих на рассматриваемую часть штока газа.

После сокращения на можно с учетом уравнения расхода (2.5') последнее уравнение представить в виде

(2.7)

Уравнение (2.7) записано в векторной форме и равно­сильно трем уравнениям в скалярных величинах в проекциях на ось . Например, беря проекцию на ось , имеем

(2.8)

где - проекция i -ой силы на ось. В качестве внеш­них сил могут быть силы тяжести, трения на боковой поверхно­сти потока, гидростатического давления, взаимодействия по­тока с твердым телом (например, при прохождении газа по каналам рабочего колеса турбины, компрессора), центробеж­ная сила и т.п.

2.4. Закон изменения момента количества движения

Этот закон формулируется следующим образом. Сумма мо­ментов импульсов всех внешних сил относительно некоторой точки 0 равна изменению суммарного момента количества дви­жения рассматриваемой системы материальных точек за то же время, причем моменты количества движения берутся относи­тельно той же точки 0. Математически этот закон записыва­ется так

(2.9)

где - момент количества движения системы материаль­ных точек относительно точки 0; - изменение этого момента; - импульс i -ой внешней силы; момент импульса; -ой внешней силы относи­тельно точки 0.

Преобразуем выражение (2.9) применительно к газовому потоку. Дня этого выделим часть потока газа, заключенного между контрольными сечениями 1 и 2 (рис. 2.3), в некоторый момент времени ,

Рис. 2.3 К выводу закона измене­ния момента количества движения

За время выделенная масса газа займет новое по­ложение 1'-2' (рис. 2.2). Рассмотрим частный случай, когда движение установившееся. Тогда можно показать (так же как и в предыдущем параграфе), что изменение момента количества движения отсека 1-2 за время определяется как разница моментов количества движения отсеков 2-2' и 1-1'.

Момент количества движения определяется как векторное произведение , в котором - радиус-вектор, соединяющий рассматриваемое сечение с точкой 0, относитель­но которой вычисляется момент.

Учитывая изложенное, закон (2.9) можно записать для отсека потока газа 1-2 в виде

(2.10)

Согласно уравнению расхода (2.5'), масса отсеков 1-1' и 2-2' одинакова и равна

Вынося общий множитель и сокращая обе части равенства (2.10) на , получим

(2.11)

Из курса математики известно, что векторное произведе­ние двух векторов представляет собой вектор, направленный перпендикулярно плоскости (обозначим это направление через ), модуль этого вектора равен произведению , где - угол между и Учитывая это, векторное уравнение (2.11) в проекции на ось дает

(2.12)

где ,- тангенсальная составляющая скоростей и соответственно;

Уравнение (2.12) и представляет собой закон измене­ния момента количества движения применительно к установив­шемуся потоку сжимаемой среды (газа). Оно получило назва­ние турбинного уравнения Эйлера, которое широко использу­ется в теории центробежных машин.