- •34.Похідні елемент. Ф-ій
- •35.Похідна складної функції. Похідна функції заданої неявно.
- •36. Похідна оберн. Ф-ії. Диференц. Оберн. Тригоном. Ф-ій.
- •37.Похідна функції, заданної параметрично.
- •38.Гіперболичні функції, їх властивості та похідні.
- •39.Диференціал.Геом. Зміст диференц.
- •40.Властив. Диференц.Інваріантність форми дифер.Застосув. Дифер. У наближ. Значен.
- •Дов. Інваріантність форми дифер.
- •Заст. Дифер. У наближ. Обч.
- •41. Похідні вищих порядків.
- •42. Форм. Лейбніца. Диференц. Вищих порядків.
- •43. Теор. Ферма і Ролля
- •44.Теор. Коші і Лагранжа.
- •45. Правило Лопіталя. Розкриття невизначеності 0/0
- •46.Правило Лопіталя для розкриття невизн.
- •47.Формула Тейлора для многочлена
- •48.Формула Тейлора для ф-ії.
- •49.Форм. Тейлора з залишк. Членом у формі Лагранжа.
- •50.Теор. Про умови сталості ф-ії. Наслідок.
- •51.Ознаки монотоності ф-ії.
- •52.Локальн. Екстремум ф-ії. Теор. Про необхідну умову.
- •53.Перша достатня умова екстр. Ф-ії. Правило дослідж. Ф-ії на екстремум.
- •54.Друга і третя достатні умови локал. Екстр. Ф-ії.
- •55.Опуклість і вгнутість кривих. Теор.1
- •56.Точки перетину кривої. Теореми 2 і 3.
- •57. Асимптоти кривої.
- •1. Вертик. Асимптоти
- •58.Первісна ф-ії і невизн. Інтеграл.
- •Власт. Невизнач. Інтегр.:
- •59.Основні інтегр. Інтегр., що не є елемент. Ф-ми.
- •60. Інтегр. Підстановкою у невизн. Інтегр. Приклади.
- •61.Інтегрув. Частинами у невизн. Інтегралі.
- •62.Обчислення інт.
- •63.Інт., що містять у знамен. Квадр. Трьохчлен. 1,2,3 типи.
- •64.Інтегр., що містять у знам. Кв. Трьохчлен. 4,5,6,7 типи.
- •65.Інтегрув. Дробово-раціон. Ф-ій.
- •66.Інтегрування деяк. Алгебр. Ірраціон. Підст. Ейлера
- •67.Інтегр. Диференц. Біномів. Підстановки Чебишева.
- •68.Інтегрув. Раціон. Виразів, до яких входять тригоном. Ф-ії.
- •69.Означ. Визнач. Інтегралу. Геометр. І фізичний зміст.
- •70.Умови існув. Визначен. Інт. Властив. Визнач. Інт., вираж. Рівностями.
- •Власт. Визн. Інт., вираж. Рівн.
- •71.Власт. Визн. Інт. Виражені нерівн. Теор. Про сер. Знач ф-ії.
- •12) Теор.(про середнє знач. Ф-ії)
- •72.Інтегр. Із змінною верхнюю межою інтегр. Теор. Наслідок.
- •73.Форм. Ньютона-Лейбніца. Заміна змін. У визнач. Інтегр. Інтегр. Частин. У визнач. Інтегр
68.Інтегрув. Раціон. Виразів, до яких входять тригоном. Ф-ії.
Теор.: за допом. підстановки зводиться до інтегр. від раціон. ф-ії від t.
Довед.: Одержимо
раціон. ф-ія, що залежить від t.
Прикл.: обчислити інтеграл:
Заув.: підстановка tgx/2=t наз. універсальною, але на практиці у деяких випадках вона приводить до раціональних ф-ій з великими степенями t. Тому краще користуватися так званими спеціальними тригонометр. підстановками.
Теор.2:
1. Якщо підінтегр. ф-ія непарна відносно sinx, тобто то застосовують підстановку t=cosx;
2. Якщо підінтегр. ф-ія непарна відносно cosx, тобто то застосовують підстановку t=sinx;
3. Якщо підінтегр. ф-ія парна відносно своїх аргументів, тобто то застосов. підстановку tgx=t.
Прикл.: обчислити інтеграл: Нехай sinx=t;
69.Означ. Визнач. Інтегралу. Геометр. І фізичний зміст.
Нехай на [a,b] визнач. ф-ія f(x). Розглян. довільне розбитя [a,b] на n частин точками На кожній із частин візьмемо довільну т.і обчислимо знач. ф-ії f(x) в цій точці. Побудуємо суму де довжина . Позначимо через найбільш. із довжин відрізків даного розбитя:
Вираз (1) наз. інтегральн. сумою ф-ії f(x) на [a,b].
Заув.1: геометр. інтегр. сума(1) = площі ступінчастої фігури, що утворюється із прямокутників з основами і висотами відповідно .
Заув.2: зрозуміло, що інтегр. сума (1), взагалі кажучи, залежить від способу розбитя [a,b] на частини і вибору точок на кожній із них.
Озн.: Визначеним інтегр. від ф-ії f(x) на [a,b] наз. границя інтегр. суми(1),, якщо вона не залежить від способу розбитя [a,b] на частини і вибору точок на кожній із них.
Визнач. інтегр. познач. символом
В позначені визнач. інтегр. а – нижня межа інтегр.; b – верхня; f(x) – підінтегр. ф-ія; f(x)dx – підінтеграл; х – зміна інтегр.
Геом. зміст визнач. інтегр.: для невідємної ф-ії = площі криволінійної трапеції, що обмежена графіком ф-ії y=f(x), прямими x=a, x=b і віссю Ох.
До понятя визначен. інтегр. приводять такі фізичні задачи:
1) шлях, пройдений матер. точк. з моменту часу а до b (t=a, t=b) є визнач. інтеграл від швидкості:
2) робота зміної сили F(x) на [a,b]:
3) маса неоднорідного стержня = визначеному інтегр. від його густини: та інші задачи.
70.Умови існув. Визначен. Інт. Властив. Визнач. Інт., вираж. Рівностями.
Теор.1(необх. умова існув. визн. інт.) Якщо ф-ія f(x) інтегровна на [a,b], то вона обмежена на цьому відрізку.
Заув. твердженя обернене до теор.1 неправільне. З обмеженості ф-ії на відрізку, взагалі, ще не випливає її інтегровності.
Прикладом такої ф-ії є ф-ія Діріхле:
Розгл. х є [0,1]. Зрозуміло, що D(x) обмежена, тому що Побудуємо інтегр. суму , взявши спочатку всі точки раціон. числами. Одержимо:
З іншого боку, якщо всі візьмемо ірраціон. одержимо:
.
Тобто значен. інтегр. суми залежить від способу розбиття відрізка [0,1]. Це означає, що ф-ія D(x) неінтегр. на цьому відр.
Теор.2(дост. умова існув. визн. інт.) Якщо ф-ія f(x) непер. на [a,b], то вона інтегр. на цьому відрізку.
Заув. Достат. умова інтегровн. зовсім не означає, що клас інтегровних на [a,b] ф-ій склад. лише з неперервн. ф-ій він значно ширше. Про це свідчать такі твердження:
Теор.3: Якщо ф-ія f(x) обмежена на [a,b] і неперервна на ньому всюди, крім скінченого числа точок, ця ф-ія інтегровна на [a,b].
Теор.4: Якщо ф-ія f(x) інтегровна на [a,b] і якщо змінити її значення у скінченому числі точок, то інтегровність при цьому не порушиться і величина визначеного інтегр. не зміниться.