- •34.Похідні елемент. Ф-ій
- •35.Похідна складної функції. Похідна функції заданої неявно.
- •36. Похідна оберн. Ф-ії. Диференц. Оберн. Тригоном. Ф-ій.
- •37.Похідна функції, заданної параметрично.
- •38.Гіперболичні функції, їх властивості та похідні.
- •39.Диференціал.Геом. Зміст диференц.
- •40.Властив. Диференц.Інваріантність форми дифер.Застосув. Дифер. У наближ. Значен.
- •Дов. Інваріантність форми дифер.
- •Заст. Дифер. У наближ. Обч.
- •41. Похідні вищих порядків.
- •42. Форм. Лейбніца. Диференц. Вищих порядків.
- •43. Теор. Ферма і Ролля
- •44.Теор. Коші і Лагранжа.
- •45. Правило Лопіталя. Розкриття невизначеності 0/0
- •46.Правило Лопіталя для розкриття невизн.
- •47.Формула Тейлора для многочлена
- •48.Формула Тейлора для ф-ії.
- •49.Форм. Тейлора з залишк. Членом у формі Лагранжа.
- •50.Теор. Про умови сталості ф-ії. Наслідок.
- •51.Ознаки монотоності ф-ії.
- •52.Локальн. Екстремум ф-ії. Теор. Про необхідну умову.
- •53.Перша достатня умова екстр. Ф-ії. Правило дослідж. Ф-ії на екстремум.
- •54.Друга і третя достатні умови локал. Екстр. Ф-ії.
- •55.Опуклість і вгнутість кривих. Теор.1
- •56.Точки перетину кривої. Теореми 2 і 3.
- •57. Асимптоти кривої.
- •1. Вертик. Асимптоти
- •58.Первісна ф-ії і невизн. Інтеграл.
- •Власт. Невизнач. Інтегр.:
- •59.Основні інтегр. Інтегр., що не є елемент. Ф-ми.
- •60. Інтегр. Підстановкою у невизн. Інтегр. Приклади.
- •61.Інтегрув. Частинами у невизн. Інтегралі.
- •62.Обчислення інт.
- •63.Інт., що містять у знамен. Квадр. Трьохчлен. 1,2,3 типи.
- •64.Інтегр., що містять у знам. Кв. Трьохчлен. 4,5,6,7 типи.
- •65.Інтегрув. Дробово-раціон. Ф-ій.
- •66.Інтегрування деяк. Алгебр. Ірраціон. Підст. Ейлера
- •67.Інтегр. Диференц. Біномів. Підстановки Чебишева.
- •68.Інтегрув. Раціон. Виразів, до яких входять тригоном. Ф-ії.
- •69.Означ. Визнач. Інтегралу. Геометр. І фізичний зміст.
- •70.Умови існув. Визначен. Інт. Властив. Визнач. Інт., вираж. Рівностями.
- •Власт. Визн. Інт., вираж. Рівн.
- •71.Власт. Визн. Інт. Виражені нерівн. Теор. Про сер. Знач ф-ії.
- •12) Теор.(про середнє знач. Ф-ії)
- •72.Інтегр. Із змінною верхнюю межою інтегр. Теор. Наслідок.
- •73.Форм. Ньютона-Лейбніца. Заміна змін. У визнач. Інтегр. Інтегр. Частин. У визнач. Інтегр
65.Інтегрув. Дробово-раціон. Ф-ій.
ОЗН. Ф-ії наз. елементарними дробово-раціон. ф-ми, або елемент. дробями.
ОЗН. дробово-раціон. ф-ія (Pr(x), Qn(x) – многочлени степені відповідно r і n) наз. правільною, якщо r<n і неправільною: r n.
Заув. Якщо раціон. дріб (1) неправільний його завжди можна подати у вигляді де r1<n, M(x) – деякий многочлен.
Теор. Якщо знаменник правільною раціон. дробу можна подати у вигляді то справедлива формула:
Теор. без доведення. Знаведенної теор. випливає, що інтегрув. раціон. ф-ії зводиться до інтегрув. елементарних дробів. У випадку, коли раціон. ф-ія неправільна:
а інтеграл виражається знову таки через інтегр. від елемент. дробів. Буквені коеф. А1,...,Ак1,В1,..., Вкm,E1,…,El1,F1,…,Fl1,M1,…,
Mls,N1,…,Nls у розкладені раціон. дробу на елемент. дроби невідомі. Для їх знаходження існують 2 методи:
1) метеод прирівняння невизначен. коефіц. при степеня х. Суть його полягає в тому, що після розкладення раціон. ф-ії на елемент. дроби вирази у правій частині приводять до спільного знаменника. В результаті одержимодріб, знамен. якого, співпадає із знамен. вихідної ф-ії, а чисельник містить невідомі буквунні коефю, помножен. на х та його степені. Прирівнюючи цей чисельник і чисельник вихідного дробу одержимо рівняня, з якого будемо приравнювати коеф. при відповідних степен. х. В результаті маємо систему, з якої і визначають невідомі буквені коеф.
2) суть його полягає в тому, що після приведеня елемент. дробів до спільного знамен. і після того, як ми прирівняли чисельники дробів, ми надаємо х конкретних значень стільки скільки є невідомих.
Заув. на практиці зручніше для пошуку невизнач. коеф. застосовувати комбінований метод, при якому частину рівнянь одержують, приравнюючи коеф. при однакових степенях х, а іншу частину рівнянь одержують, надуючи х конкретних значень. Якщо знаменик має дійсні корені, краще надавати саме їх.
66.Інтегрування деяк. Алгебр. Ірраціон. Підст. Ейлера
1) b2-4ac<0
знак ax2+bx+c = знак a => a>0
-
- 1-а підстановка Ейлера
2) b2-4ac>0
-
- 2-га підстановка Ейлера
a(x-x2)=t2(x-x1)
Зауваження 1:
1-у підстановку Ейлера можна застосовувати при b2-4ac>0 при умові а>0
Зауваження 2:
Якщо a<0 але c>0 то можна використовувати 3-тю підстановку Ейлера . Цей випадок можна звести до 1-го якщо замінити t=1/2
67.Інтегр. Диференц. Біномів. Підстановки Чебишева.
Озн. Вираз де a і b є R, m,n,p є Q наз. диференц. біномом.
Теор.(Чебишева): Інтеграл від диференц. біному обчислюється в скінченому вигляді в трьох наступних випадках:
1) р ціле (відємне, додатне або 0). Застосовують підстановку де k – наймен. спільний знаменник дробів m і n.
2) ціле (додатне, відємне або 0). Застосов. підст. де s – знаменник дробу
3) ціле (додатнє, відємне або 0). Застосов. заміну де s – знаменник дробу
Заув.: Чебишев довів, що у всіх інших випадках інтеграл від дифіренц. біному не вираж. у скінченому вигляді через елементарні ф-ії.