Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Этот вопрос стал особенно актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.
Матричные методы анализа, основанные на линейной и векторно-матричной алгебре, применяются для изучения сложных и высокоразмерных структур как на отраслевом уровне, так и на уровне предприятий и их объединений. Рассмотрим матричную модель межотраслевого баланса в натурально-вещественной и стоимостной форме.
Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчёта связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного рода. Впервые эта проблема была сформулирована в 1936 г. в виде математической модели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии в США 1929— 1932 гг.
1. Матричная модель межотраслевого баланса в натурально-вещественной форме
Межотраслевой баланс в натуральном выражении может составляться на национальном и региональном уровнях. В нем в натуральной форме отражается производство и распределение продукции, межотраслевые (межпродуктовые) связи, использование материальных и трудовых ресурсов. Отрасли здесь выступают в качестве отдельных продуктов в соответствии с принципом: каждая отрасль производит один продукт или каждый продукт производится конкретной отдельно взятой отраслью. Поэтому часто данный баланс называют межпродуктовым. В межотраслевом (межпродуктовом) балансе, выраженном в натурально-вещественной форме, в качестве единиц измерения отраслей (продуктов) выступают натуральные показатели (тонны, м3 и т.д.).
Общая схема межотраслевого (межпродуктового) баланса в натуральном выражении имеет вид:
Таблица 1.1
Отрасли, производящие продукцию |
Отрасли, потребляющие продукцию
|
Конечная продукция Y |
Валовая продукция X |
||||
1 |
2 |
... |
n |
||||
1
|
x11
|
x12
|
…
|
x1n
|
Y1
|
X1
|
|
2
|
x21
|
x22
|
…
|
x2n
|
Y2
|
X2
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
n |
xn1
|
xn2
|
…
|
xnn
|
Yn
|
Xn
|
|
Затраты труда
|
V1 |
V2 |
… |
Vn |
- |
- |
В данной схеме Хij (i = j = 1, 2, … , n) представляют собой затраты продукции i-го вида на все валовое производство продукции j-го вида и сфере материального производства. Межпродуктовые потоки хij (i = j = 1, 2, … , n) в данном балансе образуют квадратную матрицу. Эту матрицу часто называют матрицей межотраслевых потоков. Кроме матрицы межотраслевых потоков баланс в натуральном выражении включает вектор конечной продукции Yi (i = 1, 2, ... , n) . Величины Yi в натуральном балансе характеризуют объем i-той продукции, которая идет на конечное потребление. К нему относится личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов (армия, больницы), экспорт продукции.
Кроме вектора конечной продукции в балансе имеется вектор Хi (i = 1, 2, … , n), где его компонента Хi характеризует в натуральном выражении объем валового производства i-той продукции.
В балансе имеется вектор-строка затрат труда, каждая компонента которого (Vj ) характеризует прямые трудовые затраты (в человеко-часах) на производство валовой продукции j-го вида.
В силу того, что в данном балансе все показатели выражены в натуральной форме, складывать их можно только по строкам.
Для отдельно взятого продукта по строке выполняется равенство
(i = 1, 2, … , n) (1.1)
т.е. валовая продукция отдельно взятого i-го вида используется в сфере матермального производства , а также, покидая сферу материального производства, формирует конечную продукцию данного вида. Система (1. 1) определяет модель данного баланса.
Выделив из схемы баланса матрицу межотраслевых затрат и валовую продукцию можно рассчитать показатели прямых затрат разных видов продукции на производство единицы каждого вида продукции в номенклатуре баланса:
= = А
В матрице А компонента aij характеризует производственные затраты продукции i-го вида на единицу продукции j-го вида.
Коэффициенты (i = 1, 2, … , n) (1.2)
называются показателями прямых материальных затрат, а сама матрица А — матрицей прямых материальных затрат.
Используя формулу (1.2), система (1.1) может быть выражена в виде:
(i = 1, 2, … , n) (1.3)
По балансу в натурально-вещественной форме можно осуществлять три основных вида расчетов:
1. При заданной матрице прямых материальных затрат А и при известном векторе конечной продукции Yi (i = 1, 2, ..., n) с использованием (1.3) определяются валовые выпуски продукции отраслей xi (i = 1, 2, ..., n).
2. При заданной матрице прямых материальных затрат А и при известном векторе валовых выпусков продукции xi (i = 1, 2, ..., n) с использованием (1.3) определяются конечные выпуски отраслей Yi (i = 1, 2, ..., n).
3. При заданной матрице прямых материальных затрат А и известной части компонентов вектора валовых выпусков продукции xi (i = 1, 2, ..., k; k < n), а также известной части компонентов вектора конечной продукции Yi (i = 1, 2, ..., n) определяются неизвестные компоненты векторов валовой и конечной продукции xi (i = 1, 2, ..., n), Yi (i = 1, 2, ..., k; k < n)
Рассмотрим эти виды расчетов на примере В. Леонтьева.
Для производства бушеля пшеницы сельскому хозяйству требуется 0,25 (=25/100) единицы его собственной продукции и 0,14 (=14/100) единицы продукции обрабатывающей промышленности, в то время как обрабатывающей промышленности для производства 1 ярда ткани требуется 0,40 (=20/50) единицы продукции сельского хозяйства и 0,12 (=6/50) единицы продукции обрабатывающей промышленности.
Таблица 1.2
Макроэкономическая таблица «затраты – выпуск»
(в натуральных единицах)
Потребление Производство |
Сельское хозяйство |
Промышленность |
Конечное потребление |
Валовая продукция |
Сельское хозяйство, бушели пшеницы |
25 |
20 |
55 |
100 |
Промышленность, ярды ткани |
14 |
6 |
30 |
50 |
«Рецептура» производства для двух отраслей можно представлена в компактной табличной форме (таблица 1.3). «Рецептурой» в литературе называют матрицу коэффициентов прямых материальных затрат, рассчитанных по формуле (1.2) Это «структурная матрица» экономики, показатели которой являются технологическими коэффициентами, так например, данные столбца 2 представляют собой технологические коэффициенты затрат сельского хозяйства, а данные столбца 3 - технологические коэффициенты затрат обрабатывающей промышленности.
Таблица 1.3
Затраты на единицу выпуска
Потребление Производство |
Сельское хозяйство |
Промышленность |
Сельское хозяйство |
0,25 |
0,40 |
Промышленность |
0,14 |
0,12 |
Технологические коэффициенты (коэффициенты прямых материальных затрат) позволяют определить величину годовой валовой продукции сельского хозяйства и обрабатывающей промышленности.
Представим формулу (1.3) в матричной (векторной) форме:
X = A X + Y (1.4),
где X – вектор валовых выпусков продукции отраслей с компонентами (x1, x2, …, xn); А – матрица прямых материальных затрат с элементами aij (i = 1, 2, ..., n); Y – вектор конечной продукции отраслей с компонентами (Y1, Y2, …, Yn).
Из формулы (1.4) следует:
X – A X = Y
X (1 – A) = Y
(E – A) X = Y,
где Е – единичная матрица. Окончательно получаем формулу:
X = (E – A)-1 Y ,
или
X = B Y (1.5),
где B = (E – A)-1 – матрица полных материальных затрат.
Процесс расчета коэффициентов полных материальных затрат трудоемок, особенно в том случае, когда количество отраслей значительно. Для того, чтобы рассчитать коэффициенты прямых материальных затрат необходимо воспользоваться одним из известных математических методов обращения матриц или функцией МОБР() офисной программы EXCEL.
Пример 1.1
Дана матрица прямых материальных затрат (А) и известны объемы конечного потребления (Y)
А =
Необходимо найти объем валовой продукции отраслей.
Решение:
Для решения задачи используем формулу (1.5).
1. Найдем коэффициенты полных материальных затрат (В) для примера В. Леонтьева, используя матричный метод:
1.1 Запишем матрицу (Е – А):
(Е – А) = =
1.2 Находим определитель матрицы (Е – А):
1.3 Составим вспомогательную матрицу :
=
1.4 Находим транспонированною матрицу
=
1.5 Обращаем полученную матрицу, то есть находим коэффициенты полных материальных затрат:
2. Находим вектор (матрицу) валовой продукции по формуле (1.5):
Пример 1.2
Дана матрица прямых материальных затрат (А) и известны объемы валовой продукции (Х)
А =
Необходимо найти объем валовой продукции отраслей.
Решение:
Y = (E – A) X
Пример 1.3
Дана матрица прямых материальных затрат (А) и известны объемы валовой продукции (Х) сельского хозяйства 100 бушелей пшеницы и объем конечного потребления промышленной продукции (Y) – 30 ярдов ткани.
А =
Необходимо найти объем валовой продукции промышленности и конечное потребление продукции сельского хозяйства.
Решение: