1.3. Аксиоматика теории вероятностей

В современной математике принято называть аксиомами те предложения, которые принимаются за истинные и в пределах данной теории не доказываются. Все остальные положения этой теории должны выводиться чисто логическим путем из принятых аксиом, формулировка аксиом представляет собой не начальную стадию развития математической науки, а является результатом длительного накопления фактов и логического анализа полученных результатов с целью выявления действительно основных первичных фактов. Именно так складывались аксиомы геометрии. Подобный же путь прошла и теория вероятностей, в которой аксиоматическое построение ее основ явилось делом сравнительно недавнего прошлого. Впервые задача аксиоматического построения теории вероятностей была решена в 1917 г. советским математиком С.Н. Бернштейном.

В настоящее время общепринята аксиоматика А.Н. Колмогорова (1933 г.), которая связывают теорию вероятностей с теорией множеств и метрической теорией функций.

В аксиоматике А.Н. Колмогорова первичным является пространство (множество) элементарных исходов Ω. Что представляют собой элементы этого множества для логического развития теории вероятностей - безразлично. Далее рассматривается некоторая система ƒ подмножеств множества Ω; элементы системы ƒ называются случайными событиями. Относительно структуры системы ƒ предполагаются выполненными три следующих требования:

1. ƒ в качестве элемента содержит достоверное событие Ω.

2. Если А и В - два события, определенные на Ω, - входят в ƒ в качестве элементов, то в качестве элементов ƒ также содержит А + В, А • В, , .

3. Если события А₁, А₂, ..., определенные на Ω, являются элементами ƒ, то их сумма и произведение также являются элементами ƒ.

Множество ƒ, образованное описанным выше способом называют "σ-алгеброй событий".

Теперь перейдем к формулировке аксиом, определяющих вероятность.

Аксиома 1 (аксиома существования вероятности). Каждому случайному событию А из σ-алгебры событий ƒ поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью.

Аксиома 2 (вероятность достоверного события). Вероятность достоверного события равна 1: Р(Ω)=1.

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Аксиома 4 (расширенная аксиома сложения). Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий А₁, а₂, ..., т.е. ,

то Р(А) =.

Совокупность (Ω, ƒ, Р) называют вероятностным пространством. Вероятность события Р(А) - численная мера степени объективной возможности этого события, удовлетворяющая вышеуказанным аксиомам.

Первые три аксиомы определяют вероятность.

Необходимость расширенной аксиомы сложения (аксиомы 4) связана с тем, что в теории вероятностей постоянно приходится рассматривать события, подразделяющиеся на бесконечное число частных случаев. Выведем из них несколько важных следствий.

Следствие 1 (вероятность противоположного события). Вероятность противоположного события вычисляется как единица минус вероятность исходного события: .

Доказательство: исходя из определения противоположного события . Тогда по второй аксиоме . События А и несовместны, следовательно, по третьей аксиоме . Следствие доказано.

Следствие 2 (вероятность невозможного события). Вероятность невозможного события равна нулю: Р(Ø) = 0.

Доказательство: Так как противоположным к невозможному событию является достоверное, имеем по следствию 1: Р(Ø) = 1 – Р (Ω).

Вероятность достоверного события равна 1, поэтому Р(Ø) = 1 – Р(Ω) = 1 – 1 = 0. Следствие доказано.

Следствие 3. Вероятность любого события .

Доказательство: сразу следует из аксиомы 2 и следствия 2.

Теорема сложения

Для произвольных событий А и В верно Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А·В).

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей двух событий без вероятности их пересечения.

Доказательство: представим событие А + В в виде суммы несовместных событий А+В=А+[В-А·В], тогда в силу аксиомы 3 имеем Р(А+В)=Р(А+[В-А·В])=Р(А)+Р(В-А·В).

Аналогично Р(В)=Р(А-В+[В-А·В])=Р(А·В)+Р(В-А·В).

Из последнего равенства следует, что Р(В-А·В)=Р(В)-Р(А·В).

Таким образом, Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В). Теорема доказана.

Пример 1.3. Студент озабочен предстоящими экзаменами по английскому языку и истории. По его мнению, вероятность того, что он сдаст английский язык, равна 0,4; вероятность того, что он сдаст по крайней мере один предмет равна 0,6; вероятность того, что он сдаст оба предмета, равна 0,1. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен по истории.

Решение. Обозначим: событие А - студент сдаст английский язык; В - студент сдаст историю. Тогда по условию задачи Р(А) = 0,4; Р(А·В)=0,1; Р(А+В)=0,6.

Согласно теореме сложения

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), откуда

Р(В)=Р(А + В) + Р(АВ) - Р(А), т.е.

Р(В)=0,6+0,1-0,4 =0,3.

Теорему сложения можно обобщить на случай трех событий:

P(A+B+С)=P(A)+P(B)+P(С)-P(A·B)-P(A·C)-P(B·C)+P(A·B·С).