- •Учебно-методический комплекс дисциплины сд.12 дискретная математика
- •061800 «Математические методы в экономике»
- •Раздел 1. Программа учебной дисциплины. Структура программы учебной дисциплины
- •1.3 Пояснительная записка:
- •1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы.
- •1.6 Содержание дисциплины.
- •1.7 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
- •1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
- •1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
- •1.10 Примерные зачетные тестовые задания.
- •1.11 Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
- •1.12 Комплект экзаменационных билетов
- •1.13 Примерная тематика рефератов.
- •1.14 Примерная тематика курсовых работ.
- •Элементы теории множеств
- •§ 2. Бинарные операции и их свойства
- •§ 3. Операции над множествами. Законы де Моргана
- •§ 4. Вектор. Прямое произведение
- •§ 5. Мощность конечного множества
- •§ 6. Отношения и их свойства
- •§ 7. Отношение эквивалентности
- •§ 8. Отношение порядка
- •§ 9. Отображения и их свойства
- •Глава II. Элементы теории графов
- •§ 1. Графы, их вершины, рёбра и дуги
- •§ 2. Операции над графами
- •§ 3. Способы задания псевдографов. Степени вершин
- •§ 4. Отношение связности для вершин неориентированного графа
- •§ 5. Отношение достижимости для вершин орграфа
- •§ 6. Эйлеров граф и условия его существования
- •§ 7. Гамильтонов граф и условия его существования
- •§ 8. Деревья и их свойства. Цикломатическое число
- •§ 9. Формула Кэли
- •§ 10. Двудольный граф
- •§ 11. Планарность
- •§ 12. Раскраска графов
- •Глава III. Булевы функции
- •§ 1. Основные определения
- •§ 2. Свойства булевых функций
- •§ 3. Переключательные функции
- •§ 4. Совершенные нормальные формы
- •§ 5. Полнота. Примеры полных систем
- •§ 6. Замыкание и его свойства
- •§ 7. Важнейшие замкнутые классы
- •§ 8. Теорема о функциональной полноте
- •Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий) Элементы теории множеств
- •Конечные графы
- •Функциональные системы с операциями: алгебра логики
- •Раздел 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации) Элементы теории множеств
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Конечные графы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Функциональные системы с операциями: алгебра логики
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.
- •Раздел 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
§ 8. Теорема о функциональной полноте
Перейдем к рассмотрению одного из основных вопросов алгебры логики вопроса о необходимых и достаточных условиях полноты.
Теорема 1.5 (о функциональной полноте). Для того, чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1, S, M и L.
Необходимость. Пусть система полна, следовательно, ее замыкание совпадает со множеством всех булевых функций: [] = P2. (*)
Предположим, что содержится в одном из указанных классов целиком. Обозначим этот класс через R. По определению замкнутого класса R=[ R]. В соответствии с третьим свойством замыкания справедливо соотношение: (R)([] [R]), т.е. (R) ([]R). (**)
Сравнивая правые части выражений (*) и (**), делаем вывод, что множество всех булевых функций P2 является подмножеством замкнутого класса R. Это неверно. Остается утверждать, что целиком не содержится ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1, S, M и L.
Достаточность. Пусть целиком не содержится ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1, S, M и L. Тогда из можно выделить подсистему , содержащую не более пяти функций, которая также обладает этим свойством. Для этого из системы возьмем функции f0, f1, fS, fM и fL, которые не принадлежат соответственно классам T0, T1, S, M и L и положим
= { f0, f1, fS, fM, fL }.
Пример. Если ={ ,x1&x2}, то можно выбрать f0 = f1 = fM = , fS = fL = x1&x2.
Доказательство достаточности будем проводить в три этапа.
I. Построение при помощи функций f0, f1 и fS констант 0 и 1
Так как функция f0 не сохраняет константу 0, то f0(0,0,...,0)=1; так как функция f1 не сохраняет константу 1, то f1(1,1,...,1)=0. Рассмотрим 4 возможных случая для функций f0 и f1 на противоположных наборах.
1. Пусть f0(1,1,...,1)=0, f1(0,0,...,0)=0. Составим функцию одной переменной (x)= f0(x,x,...,x) и вычислим ее значения в 0 и 1: (0)= f0(0,0,...,0)=1, (1)= f0(1,1,...,1)=0.
Следовательно, (x)= . По лемме 1.1 из и fS можно получить константу. Имея одну из констант и используя отрицание , можно получить вторую константу.
2. Пусть f0(1,1,...,1)=0, f1(0,0,...,0)=1. Рассуждаем совершенно аналогично случаю 1.
3. Пусть f0(1,1,...,1)=1, f1(0,0,...,0)=0. Составим две функции одной переменной (x)= f0(x,x,...,x) и (x)= f1(x,x,...,x) и вычислим их значения в точках 0 и 1:
(0)= f0(0,0,...,0)=1 и (1)= f0(1,1,...,1)=1, т.е. (x)1;
(0)= f1(0,0,...,0)=0 и (1)= f1(1,1,...,1)=0, т.е. (x)0.
4. Пусть f0(1,1,...,1)=1, f1(0,0,...,0)=1. Составим функцию одной переменной (x)= f1(x,x,...,x) и вычислим ее значения в 0 и 1:
(0)= f1(0,0,...,0)=1, (1)= f1(1,1,...,1)=0.
Следовательно, (x)=. По лемме 1.1 из и fS можно получить константу. Имея одну из констант и используя отрицание , можно получить вторую константу.
II. Построение при помощи констант 0 и 1 и функции fM функции
Этот этап осуществляется на основе леммы 1.2.
III. Построение при помощи констант 0 и 1 и функций и fL функции x1&x2.
Этот этап осуществляется на основе леммы 1.3.
Таким образом, при помощи формул над (а значит, и над ) нам удалось реализовать функции и x1&x2, которые, как известно, составляют полную систему. Этим достаточность доказана.
Рассмотрим пример 1.1, иллюстрирующий возможности теоремы о функциональной полноте. Покажем, что система функций f1=x1&x2, f2=0, f3=1 и f4= x1x2 x3 является полной. В самом деле, f3 T0, f2 T1, f2 S, f4 M, f1 L.
Раз система этих функций целиком не содержится ни в одном из 5 указанных классов, значит, полна.С другой стороны, удаление любой из этих функций приводит к неполной системе:
{f2, f3,f4} , { f1, f3,f4 } , { f1, f2, f4} , { f1, f2, f3} .
Теорема 1.6. Из всякой полной в P2 системы функций можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырёх функций.
При доказательстве теоремы о функциональной полноте было показано, что из можно выделить полную подсистему , содержащую не более пяти функций. Но если функция f0 не сохраняет константу 0 (f0T0), то она либо не самодвойственная: f0(0,0,...,0)= f0(1,1,...,1)=1, либо не монотонная: 1=f0(0,0,...,0)> f0(1,1,...,1)=0, поэтому полной будет либо система {f0,f1,fM, fL}, либо система {f0,f1,fS, fL}. Пример 1.1 показывает, что константа 4 не может быть понижена.