1.3. Поток электрического смещения. Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля

Характер векторных полей определяется потоком и циркуляцией вектора. Рассмотрим поток электрического смещения электростатического поля.

В электрическом поле с электрическим смещением представим элементарную площадку dS (рис.1.2). Ориентация dS в пространстве задается нормалью (единичным вектором) в направлении перпендикуляра к dS.

Потоком электрического смещения dФ_D через элементарную площадку dS называется произведение модуля электрического смещения на величину элементарной площадки dS и на косинус угла  между и

dФ_D = DdScos.

Здесь Dcos = D_n - проекция на направление, поэтому dФ_D можно представить в виде

dФ_D=DndS.

Поток электрического смещения через поверхность площадью S выражается формулой

Формула потока через замкнутую поверхность записывается следующим образом:

При замкнутых поверхностях за направление принимается направление внешней нормали к dS.

Теорема Остроградского - Гаусса утверждает, что поток электрического смещения поля покоящихся электрических зарядов через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов в объеме, ограниченном этой замкнутой поверхностью.

Обозначим алгебраическую сумму зарядов внутри замкнутой поверхности qv. Тогда формула теоремы Остроградского - Гаусса будет иметь вид

Если S охватывает систему точечных зарядов, то

В общем случае из определения объемной плотности следует, что

q

и формула теоремы Остроградского - Гаусса принимает вид

При применении теоремы Остроградского - Гаусса для расчета полей нужно:

1) выбрать замкнутую поверхность, удобную для данного случая и проходящую через рассматриваемую точку;

2) вычислить Ф_D через эту замкнутую поверхность;

3) вычислить алгебраическую сумму зарядов внутри выбранной замкнутой поверхности;

4) приравнять вычисленные Ф_D и q_V и из этого равенства определить D и Е.

Применив теорему Остроградского - Гаусса для электростатического поля бесконечной заряженной однородно с поверхностной плотностью  плоскости, можно получить

для бесконечной заряженной однородно с линейной плотностью  нити -

для сферы или шара радиуса R при однородном распределении заряда q на них и при (г  R )

1.4. Связь напряженности электростатического поля с потенциалом

Из соотношения, выражающего связь силы взаимодействия с потенциальной энергией,

следует, что напряженность электростатического поля связана с потенциалом соотношением

Отсюда следует, что направление напряженности электрического поля совпадает с направлением наибыстрейшего изменения потенциала, а модуль напряженности электрического поля равен убыли потенциала на единице длины в направлении напряженности (нормали к поверхности равного потенциала):

Проекция на произвольное направление l равна убыли потенциала на единице длины в этом направлении:

Д ля однородного электростатического поля

где d - расстояние между точками 1 и 2 вдоль линии , a ₁ и ₂ - потенциалы этих точек.

Связь  с используется для нахождения или , если известна формула одной из указанных величин.