Лекция №2:Показатели качества технического обслуживания рэо на морском флоте. Функция готовности, коэффициент готовности рэо.

Показатели качества технического обслуживания РЭО

Комплексные показатели качества технической эксплуатации характеризуют два и более свойств надежности. Наиболее часто используются на практике комплексные показатели, характеризующие безотказность и ремонтопригодность одновременно.

Коэффициент готовности – вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых использование объекта по назначению не предусматривается (например, профилактика, техническое обслуживание, ожидание использования по назначению и т.д.).

Р ис.2.1. Функционирование восстанавливаемого объекта: t₁, …, t_n – интервалы работоспособности; tв₁, …, tв_n – интервалы восстановления.

Для любых распределений времени работы между отказами и времени восстановления, имеющих конечные средние значения и в установившемся (стационарном) режиме эксплуатации (т.е. при ), можно записать:

или

.

Зависимость коэффициента готовности от времени эксплуатации системы называется функцией готовности.

Коэффициент простоя – вероятность нахождения объекта в состоянии отказа в произвольный момент времени, кроме периодов планового обслуживания.

По аналогии с выражением для коэффициента готовности коэффициент простоя можно записать:

.

Очевидно, что:

Коэффициент технического использования – отношение математического ожидания интервалов времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий времени пребывания объекта в работоспособном состоянии, простоев, обусловленных техническим обслуживанием, и ремонтов за тот же период эксплуатации.

Статистически коэффициент технического использования определяется по формуле:

,

где – суммарная наработка всех объектов; – суммарное время простоев из-за плановых и внеплановых ремонтов всех объектов; – суммарное время простоев из-за планового и внепланового технического обслуживания всех объектов. Время простоя по организационным причинам здесь не учитывается.

Коэффициент оперативной готовности – вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.

Коэффициент оперативной готовности характеризует надежность объектов, необходимость применения которых возникает в произвольный момент времени, после которого требуется определенная безотказная работа. До этого момента такие объекты могут находиться в режиме дежурства (при полных или облегченных нагрузках, но без выполнения заданных рабочих функций), так в режиме применения – для выполнения других рабочих функций (задач, работ и т.д.). В обоих режимах возможно возникновение отказов и восстановление работоспособности объекта.

Для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы системы с учетом свойств этого распределения зависимость коэффициента оперативной готовности от времени имеет вид:

.

Применение теории марковских процессов для описания процесса технической эксплуатации.

При описании функционирования технической системы с помощью марковского процесса с дискретным множеством состояний и непрерывным временем возникают широкие возможности для определения всех необходимых показателей надежности системы.

Марковские процессы являются наиболее изученным и простым классом случайных процессов с дискретным множеством состояний и непрерывным временем, которыми можно описывать эволюцию стояний технической системы в процессе технической эксплуатации. С помощью марковских процессов можно описывать поведение многих реальных физических систем, и для них хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать прикладные задачи.

Марковский процесс. Пусть Y – некоторая формальная система (техническая, эргатическая, экономическая), которая может находиться в состояниях S₁ , S₂ ..., и F – система множеств U, образованных из элементов S₁ , S₂ ... Процесс Y(t) изменения состояний системы Y называется марковским процессом по отно­шению к F, если при любом выборе состояния S, множества U и моментов времени t₁ и t₂(t₁<t₂) существует определенная ве­роятность Р(t₁, S;t₂,U) того, что система, находящаяся в состоя­нии S в момент времени t₁ попадет в момент t₂ в одно из состоя­ний U. При этом предполагается, что если известно состояние системы в момент t₁, то распределение вероятностей Р(t₁, S; t₂,U) для всех t>t₁ не зависит от изменения системы Y до момента t₁. Если вероятность Р(t₁, S; t₂, U) определена лишь для t₀≤t₁<t₂, то говорят, что процесс изменения состояний системы Y будет марковским процессом при t≥t₀.

Иными словами, случайный процесс Y(t) называется марковским, если для любых n моментов времени t₁<t₂<…<t_n из отрезка [0,Т] условная вероятность того, что Y(t) в момент времени t₁=t_n будет иметь значение Y(t_n), равное некоторому заданному Х_п при фиксированных значениях Y(t₁), Y(t₂), …, Y(t_n-1), зависит только от Y(t_n-1), т.е. при заданных значениях Х₁, Х_г..., Х_п справедливо соотноше­ние .

Марковские процессы часто называют также процессами без последействия, так как для них поведение процесса в будущем определяется настоящим состоянием и не зависит от предыдущего состояния.

Вероятности состояний технической системы – вероятности состояний марковского процесса, описывающего его эволюцию во времени. Для вероятностей реализации состояний (пусть их общее число равно m) существует система m обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (уравнения Колмогорова - Чепмена) первого порядка.

В теории надежности при анализе сложных систем необходимо решить систему m уравнений (число уравнений равно количеству рассматриваемых состояний процесса). При этом правильность такого описания процесса технической эксплуатации и количество решаемых уравнений m зависят от определения понятия состояние технической системы. Существуют различные способы описания состояний.

Признак состояния – число отказавших элементов. Состояние может определяться числом отказавших или работоспособных единиц оборудования, составляющих техническую систему.

Признак состояния – уровень значения определяющего параметра. Под состоянием тех­нической системы будем понимать такое состояние ее оборудова­ния, при котором уровень определяющего параметра системы N_p равняется некоторому фиксированному значению N_p=N_i из заданного ограниченного набора {N_i}=1, 2, ..., п.

Признак состояния – число отказавших элементов в блоке. Подавляющая масса технических систем, особенно таких морские системы связи, обладает свойством блочности. Блочность как свойство технической системы за­ключается в наличии среди составляющего оборудования совокуп­ностей (блоков) однотипных элементов, представляющих собой структуры типа m из п. Система типа т из п в теории надежно­сти – это .система однотипных элементов (точнее, неразличимых по их влиянию на надежность системы более высокого уровня иерархии), отказ которой наступает при отказе m элементов из полного числа п. Свойство блочности дает возможность сократить число состоя­ний марковского процесса.

Графически реализацию дискретного марковского процесса можно представить в виде ступенчатой функции (рис2.1). Пусть Y(t) принимает дискретные значения S₁,S₂,...S_k. Различным значениям соответствуют различные состояния системы, изменения состояний происходят в случайные моменты времени t_s, например, как показано на рис.2.2.

Рис.2.2 – Реализация дискретного марковского процесса с непрерывным временем.

Для определения интенсивностей переходов между состояниями процесса требуется детальное изучение структурно-функцио­нальной схемы технической системы, возможных сочетаний отказов и восстановлений и их последствий для различных единиц обо­рудования. Сегодня нет достаточно универсальной методики опре­деления интенсивностей переходов между состояниями процесса при таком их определении, и, думается, что создать такую уни­версальную методику не представляется возможным в силу прак­тически бесконечного числа принципиально различающихся структурно-функциональных схем технических систем.

Использовать этот подход целесообразно в случаях достаточно простых структурно-функциональных схем, когда ясна картина отказов и восстановлений и их последствий для любого сочетания состояний отдельных единиц оборудования.

В случае системы с невосстанавливаемым оборудованием, как правило, нетрудно установить отказы каких единиц оборудования и в какой последовательности приводят к состояниям с теми или иными уровнями параметра, т.е. построить схему переходов между этими уровнями. В таком случае интенсивности переходов между состояниями с различными уровнями мощности будут простой ком­бинацией (суммой) интенсивностей отказов соответствующих единиц оборудования рассматриваемой технической системы.

При исследовании надежности сложных технических систем одним из основных этапов являет­ся составление системы дифференциальных уравнений для вероят­ностей реализации возможных состояний объек­та или процесса. Основной задачей здесь является определение коэффициентов уравнений – интенсивностей переходов между состояниями системы . Интенсивности переходов определяются после построения графа состояний марковско­го процесса, описывающего эволюцию состояний рассматриваемой технической, системы.

Как уже отмечалось выше, эти интенсивности определяются по известным интенсивностям отказов и интенсивностям восстанов­ления отдельных элементов технической системы.

Графом состояний называют графическое представление состояний системы (или пространства состояний процесса, описывающего ее функционирование) и возможных переходов между состояниями с указанием интенсивностей этих переходов и уровня определяющего параметра системы, реализующего в каждом из состояний. Отдельные состояния изображаются точкой, называемой вершиной графа. Вершины соединяются между собой ребрами, изображающими возможные переходы между состояниями. При этом пере­ход (и соответствующее ему ребро) называется прямым, если он порожден отказом отдельного элемента рассматриваемой технической системы, и обратным, если он порожден восстановлением элемента.

Построение графа состояний любой технической системы начинается с составления полного набора ее состояний или полной набора векторов вершин графа

,

где m – полное число состояний технической системы (вершин графа); – число отказавших элементов в j-м блоке и в i-м состоянии системы.

Полный набор векторов {х_i} определяется числом возможных сочетаний всех допустимых значений их координат , j=1, 2, …, L. Вершины графа можно разделить на вершины, соответствующие: работоспособным состояниям технической системы; состояниям её полного отказа, после которого допустимо восстановление работоспособности системы, и, наконец, состояниям полного отказа технической системы, восстановление работоспособности после которого на рассматриваемом промежутке времени невозможно. Назовем их соответственно вершинами первого, второго и третьего типов. Вершины третьего типа допускают объединение в одну вершину без потери информации.

Прямые ребра графа состояний строятся в соответствии с отказами элементов рассматриваемой технической системы, а обратные – в зависимости от применяемой стратегии её ремонтного обслуживания, в частности, с учетом того, одновременно или в какой определенной последовательности восстанавливаются отказавшие элементы. Выбор определенной стратегии ремонтного обслуживания особенно существен при построении обратных ребер, выходящих из тех вершин графа состояний, которые определяются состояниями технической системы с более чем одним отказавшим элементом (единицей) оборудования.

Максимально возможное число прямых ребер, выходящих из отдельной вершины графа состояний, равно числу блоков L в рассматриваемой технической системе.

Для удобства последующих операций при составлении системы дифференциальных уравнений для вероятностей реализации всех возможных состояний процесса следует пронумеровать вершины графа состояний в определенном порядке. Нумерацию вершин начинаем с вершины, соответствующей состоянию, в котором всё оборудование технической системы работоспособно. Затем нумеруем остальные вершины первого типа, далее в порядке возрастания присваиваем номера вершинам второго типа. Множество вершин третьего типа после объединения соответствующих им состояний в одно вырождается множество, содержащее только один элемент (вершину). Этой вершине присваиваем последний номер, пусть это будет номер m. Таким образом, граф состояний технической системы будет содер­жать m вершин.

Система уравнений Колмогорова – Чепмена для вероятностей состояний марковских процесса

Выведем систему дифференциальных уравнений для вероятностей реализаций возможных со­стояний ординарного дискретного марковского. Для этого введем обозначения:

 – интенсивности ухода из состояния S_i,

– интенсивности переходов между состояниями S_i и S_j.

Система уравнений для вероятностей реализации состояний P_i(t) ординарного марковского процесса представляет собой систему уравнений баланса вероятностей. Вероятность для процесса перейти из состояния S_i в любое другое возможное состояние за малое время , где – вероятность того, что процесс не изменит своего состояния за время от t до t + Δt. В тоже время вероятность того, что процесс попадет в состояние Х_i из какого-либо иного состояния за время Δt:

,

где – вероятность того, что система, находясь в мо­мент времени t, в состоянии S_j, в момент времени t+Δt окажется в состоянии S_i. Тогда по соображениям баланса можно записать

.

Переходя к пределу при Δt→0, получаем систему дифференциальных уравнений Колмогорова – Чепмена:

, (2.1)

где – вероятность того, что в момент времени t>t₀ процесс будет находиться в состоянии S_i. Легко показать, что вероятности P_i(t) удовлетворяют условию:

, (2.2)

где m – полное число состояний рассматриваемого марковского процесса. Для этого достаточно сложить уравнения системы (2.1). Соотношение (2.2) является выражением того факта, что с вероят­ностью, равной единице, процесс находится в каком-то одном из состояний .

Следует отметить, что в теории надежности коэффициенты уравнений (интенсивности переходов между состояниями процесса), определяются линейными комбинациями интенсивностей отказов или восстановлений отдельных элементов рассматриваемой технической системы и являются непрерывными и ограниченными функциями времени.

Все возможные состояния системы разбиваются на два подмножества: подмножество состояний n₁, в котором система работоспособна, и подмножество n₂, в котором система неработоспособна. Функция готовности системы определяется как сумма всех вероятностей нахождения системы в работоспособных состояниях:

.

Условия применимости марковской модели для оценки качества технического облуживания систем

Прежде чем переходить к рассмотрению области применимости марковской модели, остановимся на ее преимуществах. Некоторые методы основываются на предположении о незави­симости отдельных элементов сложной системы с точки зрения их влияния на надежность системы в целом. Другими словами, при расчете надежности системы случайные процессы, описывающие эволюцию отдельных элементов, нужно рассматривать как неза­висимые. А процесс, описывающий эволюцию системы в целом сводится к простой композиции указанных элементарных случай­ных процессов. Можно привести ряд технических систем, при расчете надежности которых это условие нарушается. Типичная из них – последовательное соединение блоков однотипного оборудования. Отказ такой системы наступает при отказе хотя бы одного блока. Очевидно, что после отказа одного блока невозможен отказ элементов других блоков, поскольку обыч­но предполагается, что неработающий элемент отказать не может.

Практически все технические системы состоят из элементов двух типов: восстанавливаемых и невосстанавливаемых. Законы распределения наработки до отказа и времени восстановления элементов бывают самыми различными. Особое место занимает экспоненциальный закон, как наиболее простой и часто используемый в практических приложениях анализа надежности. Для удобства изложения будем разделять законы на произвольные и экспоненциальные. Следует отметить, что экспоненциальный закон встречается не только там, где выход элемента из строя происходит по случайным внешним причинам. Доказано, что если сложная резервированная система с восстанавливаемыми элементами рассматривается на более высоком иерархическом уровне как один элемент, то закон ее надежности при довольно общих условиях можно считать экспоненциальным (в частности, при достаточно близких характеристиках надежности составляющих элементов). Чтобы при анализе надежности технической системы ее эволюцию можно было описывать марковским процессом, необходимо выполнение некоторых условий. Эти условия несколько ограничивают класс технических систем, для описания функционирования, которых при оценке надежности возможно использование марковской модели.

Выделим три типа оборудования технических систем: невосстанавливаемое на рассматриваемой промежутке времени, оборудование с произвольным законом распределения его наработки до отказа; восстанавливаемое с экспоненциальными законами распределений наработки до отказа и времени восстановления и восстанавливаемое с произвольными, отличными от экспоненциального, законами распределений наработки до отказа и времени восстановления. Такая классификация учитывает все возможные типы оборудования сложных технических систем.

В общем случае марковский процесс может быть применен и для описания эволюции смешанной системы, включающей в себя невосстанавливаемые на [0, Т] и восстанавливаемые элементы. Здесь достаточно потребовать, чтобы законы распределения наработки до отказа и времени восстановления для восстанавливаемых элементов были экспоненциальными, закон распределения наработки до отказа для невосстанавливаемых элементов никаких ограничений не накладывается.

Мар­ковскую модель, в основе которой лежит неоднородный марковский процесс, можно использовать для описания функционирования элемента с произвольными законами надежности, если для этих законов выполняется следующее специ­фическое условие. Восстановление отказавшего элемента не изменяет характеристик его безотказности, т.е. после восстановления работоспособности интенсивность отказа элемента сохраняется такой же, какой она была бы, если бы элемент всё это время находился в работоспособном состоянии. Аналогичное условие должно быть справедливо для характеристик ремонтопригодности элемента. Иными словами, при рассмотрении технической системы с восстанавливаемыми элементами при произвольных (отличных от экспоненциальных) законах распределения наработок до отказа и времен восстановления описание ее эволюции неоднородным марковским процессом возможно в том случае, если удается задать интенсивности отказов и восстановлений элементов в виде функции календарного времени или в виде функций наработки системы. Задание этих интенсивностей в виде функций наработок отдельных элементов не является достаточным условием применимости марковской модели.

Область применимости марковской модели для описания функционирования таких систем в целях оценки их надежности достаточно велика. Требования экспоненциальности законов, как правило, не является существенным ограничением по двум причинам. Во-первых, если рассматриваемый интервал нормальной эксплуатации системы (без учета периода приработки системы) [0,T], не слишком велик, так что на нем можно пренебречь старением составляющих элементов, то упомянутое требование выполняется. Во-вторых, в условиях явного старения какой-то части элементов системы на интервале [0, Т], использование допущения об экспоненциальном законе распределения их наработок до отказа с плотностью (где – фактическая средняя наработка r-го стареющего элемента до отказа) ведет к оценке надежности технической системы с запасом. Фактическая надежность такой системы будет выше, чем полученная при указанном допущении.