- •Журавлев ю.И., Флеров ю.А. Дискретный анализ
- •Элементы комбинаторики.
- •Введение
- •Два принципа комбинаторики
- •Функции и размещения
- •Числа Стирлинга первого рода
- •Циклическая структура перестановок
- •Упорядоченные размещения.
- •Сочетания и биномиальные коэффициенты.
- •Производящие функции
- •Биномиальные коэффициенты
- •Исчисление конечных разностей
- •Разложения
- •Полиномиальные коэффициенты
- •Разбиения
- •Число разбиений
- •1. Формула 1.
- •2. Формула 2.
- •Числа Белла.
- •Принцип включений - исключений
- •Задача о числе беспорядков (Задача о встречах)
- •Количество сюръективных отображений
- •Перестановки с ограничениями на местоположение
- •Системы представителей множеств
- •Системы различных представителей
- •Системы общих представителей
- •Функции алгебры логики
- •Элементарные высказывания
- •Элементарные логические операции (функции)
- •Алгебраические свойства элементарных операций
- •Разложение функций алгебры логики по переменным
- •Функциональная полнота систем функций алгебры логики
- •1. Замена переменных.
- •2. Суперпозиция функций алгебры логики.
- •Замкнутые классы.
- •Критерий полноты
- •Представление о результатах Поста
- •Элементы теории графов
- •Степени вершин
- •О машинном представлении графов.
- •Поиск в графе
- •Поиск в глубину в графе
- •Поиск в ширину в графе
- •Пути и циклы
- •Связность
- •Деревья
- •Остовное дерево (каркас)
- •Эйлеровы пути и циклы
- •Aлгоритм построения эйлерова цикла
- •Гамильтоновы пути и циклы
- •Нахождение кратчайших путей в графе
- •Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в ориентированном графе с неотрицательными весами ребер
- •Максимальный поток в сети
- •Рекомендуемая литература.
- •Оглавление
-
Задача о числе беспорядков (Задача о встречах)
В качеcтве канонического примера возможного приложения выведенной формулы включений-исключений рассмотрим знаменитую задачу о числе беспорядков или инверсий.
Пусть мы хотим найти число таких перестановок n , которые не имеют неподвижных точек, то есть ни один элемент не стоит на своем месте: (i) i для всех i {1, 2, ... ,n}. Таким образом, мы ищем число перестановок a1a2 ...an n чисел {1,2, ... , n}, таких, что , i = 1,2, ... , n. Такие перестановки будем называть беспорядками. Обозначим их число D(n). Тогда D(0)=1, D(1)=0, D(2)=1, D(3)=2.
Рассмотрим множество n всех n! перестановок b1 b2 ...bn , и пусть свойствоi перестановки состоит в том, что bi = i. Тогда N(n-s)! , i1< ...< is , поскольку они являются перестановками, в которых s объектов закреплены на своих позициях, а остальные объекты свободны. Число беспорядков есть N0 и применение формулы включений-исключений дает равенство
,
так как число способов выбора k неподвижных точек из n- элементного множества есть .
Последнее выражение после упрощений можно переписать в виде:
. (1.26)
Сумма в скобках в ( 1 .26) есть начальный отрезок ряда . Из формулы ( 1 .26) видно, что - хорошее приближение к D(n), и, в действительности, нетрудно показать, что D(n) - ближайшее целое к . Это означает, что беспорядки составляют фиксированную долю е-1 всех перестановок и, что удивительно, эта доля не зависит от n .
В задаче о беспорядках функция b(i) (см. ( 1 .23)) имеет очень специальное свойство b(i)=i! - она зависит только от i, но не зависит от n. Эквивалентным образом, число перестановок, множество подвижных точек которых лежит во множестве T, зависит только от T , но не от n. Это означает, что формулу ( 1 .26) можно переписать на языке конечных разностей (см. уравнение ( 1 .6)) в виде
.
(Сокращенная запись D(n) = n 0!).
Так как число b(i) перестановок, подвижные точки которых содержатся в некотором определенном i -элементном множестве, зависит только от i, то же верно и для числа a(i) перестановок , имеющих в качестве множества подвижных точек некоторое определенное i -элементное множество. Из комбинаторных соображений ясно, что a(i) = D(i).
Из формулы ( 1 .26) также немедленно следует, что при n 1
D(n) = nD(n1) + (1)n , (1.27)
D(n) = nD(n1) + D(n2). (1.28)
Значительного труда требует комбинаторное доказательство формулы ( 1 .27), хотя прямое комбинаторное доказательство ( 1 .28) совершенно просто. Приведем его.
Выберем и зафиксируем некоторый элемент i>1 множества {1, 2, ... , n}. Все перестановки без неподвижных точек разобьем на два типа следующим образом. К первому типу K1 отнесем перестановки, в которых i стоит на первом месте, но 1 не стоит на i-ом месте ( K1 = {n (i)=1, (1) i}). Количество таких перестановок равно D(n1). Ко второму типу K2 отнесем перестановки, в которых i стоит на первом месте, а 1 на i-ом месте ( K2 = {n (i)=1, (1) = i}). Количество таких перестановок равно D(n2). Указанные типы перестановок не пересекаются, а их объединение по всем значениям i дает множество всех перестановок без неподвижных точек. Учитывая, что элемент i может быть выбран n 1 способом, получаем формулу ( 1 .28).
Рассмотрим пример, к которому непосредственно неприложимы предшествующие рассуждения, проведенные при решении задачи о числе беспорядков. Пусть h(n) - число таких перестановок мультимножества Mn = {12,22, ... , n2}, никакие два последовательных члена которых не равны. Таким образом, h(0) = 1, h(1) = 0, h(2) = 2 (соответствующие перестановки есть 1212 и 2121). Пусть A - множество всех перестановок мультимножества Mn и Pi для 1 i n - свойство перестановки иметь последовательными членами два числа i. Тогда мы ищем f=() =h(n). Из соображений симметрии ясно, что при фиксированном n f (T) зависит только от i = T , так что обозначим g(i) = f (T). Ясно, что g(i) равно числу перестановок мультимножества {1, 2, ... , (i+1)2, (i+2)2, ... ,n2} (замените каждое число j i, встречающееся в , двумя последовательными членами, равными j), так что
g(i) = (2n i)! 2- (n - i) .
Заметим, что b(i) = g(n i) = (n+i)!2 i не является функцией лишь от i, так что предшествующее рассуждение в действительности неприменимо. Однако из формулы ( 1 .25) получаем, что
.