3.4.1. Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциал. Разность потенциалов. Связь между напряженностью e и потенциалом электрического поля.
Работа по перемещению заряда в электрическом поле.
Рассмотрим
движение одного точечного заряда
по произвольной траектории из точки 1
в точку 2 в поле, созданном зарядом
.
Сила взаимодействия зарядов определяется
законом Кулона, где
-
радиус вектор, проведенный от заряда
к заряду
.
При
перемещении заряда
сила, действующая на него со стороны
первого заряда, будет совершать работу.
Элементарная работа равна
.
Подставив
силу Кулона в это выражение и учитывая,
что
,
поскольку скалярное произведение
вектора на его элементарное приращение
равно произведению модулей этих векторов,
получим выражение для элементарной
работы.
.
Проинтегрировав
это уравнение, получаем работу
электрической силы при перемещении
заряда
из точки 1 в точку 2.
.
Из
полученного выражения видно, что работа
сил электростатического поля зависит
от заряда
,
создающего поле, от заряда
,
перемещаемого в этом поле и от расстояния
между зарядами в начальном и конечном
положениях, но не зависит от формы
траектории, по которой движется заряд.
На рисунке показаны две траектории,
одна сплошной линией, а другая
штрихпунктирной. Как видно из формулы
для работы, при движении по любой
траектории работа совершается одинаковая.
Отсюда следует, что работа, совершаемая
при перемещении электрического заряда
по любой замкнутой траектории в
электростатическом поле, равна нулю
.
По определению напряженность электрического поля равняется силе, с которой поле действует на единичный положительный заряд
отсюда
сила, действующая на любой заряд в
электрическом поле равна
,
тогда при перемещении по любому
замкнутому контуру L
получаем
.
Поскольку величина перемещаемого заряда
не равна нулю, то
.
Этот интеграл называется циркуляцией
вектора напряженности.
Теорема о
циркуляции: циркуляция
вектора напряженности электростатического
поля вдоль любого замкнутого контура
равна нулю.
Таким образом, работа сил электростатического поля не зависит от формы траектории. Силы, работа которых не зависит от формы траектории, являются консервативными силами. Следовательно, электростатические, кулоновские, силы консервативны, а электростатические поля – потенциальны.
Потенциал. Разность потенциалов.
Электростатическое поле является потенциальным полем, поэтому заряды, находящиеся в поле обладают энергией. Энергия единичного положительного заряда может служить энергетической характеристикой электрического поля.
Потенциал электростатического поля – скалярная физическая величина, являющаяся энергетической характеристикой поля в данной точке и равная энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:
.
Отсюда
следует, что энергия любого точечного
заряда, помещенного в точку с потенциалом
,
равна
.
Если силы консервативны, то их работа равна убыли потенциальной энергии тела. Электростатические силы являются консервативными силами и поэтому их работа равна убыли потенциальной энергии перемещаемого заряда
или
;
Таким образом, работа сил электростатического поля по перемещению заряда, равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек пути.
Потенциал, как и потенциальная энергия, определяется с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора нулевого потенциального уровня.
При
перемещении положительного заряда из
данной точки, с потенциалом
в точку с нулевым потенциалом, силы поля
совершат работу
откуда
следует, что
.
Можно дать еще одно определение потенциала:
Потенциал данной точки поля относительно некоторого нулевого уровня численно равен работе, совершаемой силами электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля на нулевой уровень.
Потенциал - величина алгебраическая. Знак потенциала определяется знаком заряда, создающего поле.
Для потенциала выполняется принцип суперпозиции: потенциал поля, создаваемого системой зарядов в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке отдельными зарядами.
Для системы точечных зарядов потенциал результирующего поля равен
Если поле создается непрерывным распределением заряда, то потенциал равен
Для наглядного представления о распределении электрического поля вокруг заряда используется не только линии вектора напряженности, но и эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальная поверхность - поверхность равного потенциала или поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одинаковое значение. Сечение эквипотенциальных поверхностей на рисунках изображают штрих пунктирной линией.
Что надо помнить об эквипотенциальных поверхностях
1) Эквипотенциальная поверхность расположена перпендикулярно вектору напряженности поля в каждой точке.
2) Работа электростатических сил по перемещению заряда между любыми двумя точками поверхности всегда равна нулю.