Строим график функции (рис.15)

. Нахождение наибольших и наименьших значений функций на заданных отрезках или удовлетворяющих заданным условиям.

Известно, что непрерывная на отрезке функция принимает наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке либо в критических точках, либо на концах отрезка. Эти значения будем обозначать и и отличать их от и , так как вообще говоря это не одно и то же.

Решение задач нахождения и осуществляется по следующей схеме:

1. Находят критические точки функции, - точки из ОДЗ функции, в которых или не существует.

2. Вычисляют значения функции во всех критических точках, лежащих внутри заданного отрезка и на его концах.

3. Сравнивают все вычисленные значения между собой и выбирают и .

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: 1. Находим производную и критические точки функции.

Из уравнения или получаем точки .

2. Вычисляем значения функции во всех этих точках:

Значения функции на границах отрезка

3. Сравнивая полученные значения функции, находим:

Ответ: , .

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

На данном отрезке находятся точки:

.

Значения функции в этих точках: Значения функции на границе отрезка: .

сравнивая все полученные значения, получим:

Ответ: , .

Часто встречаются задачи, в которых требуется найти значение какого-либо показателя, который определенным образом удовлетворяет некоторым поставленным условиям. Например требуется найти соотношение размеров цилиндрической цистерны, при котором полная поверхность цистерны была бы наименьшей (более дешевой) при заданном объеме. В связи с большим разнообразием подобных задач можно лишь отметить, что для их решения необходимо составить функцию, зависящую от нужного показателя и обычным образом найти точку, в которой эта функция достигает максимума или минимума (в зависимости от того, что требуют условия задачи), после чего с помощью достаточного признака надо убедиться в требуемом условиями задачи характер экстремума.

Пример1. Для доставки продукции завода в город А (см. рис.) строиться строится шоссе , соединяющее завод с железной дорогой (ЖД) и проходящей через город А и город В. Стоимость перевозок по шоссе вдвое больше, чем по ЖД. К какому пункту Р нужно подвести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции завода в город А по шоссе и по ЖД была бы наименьшей. Расстояние АВ=500км, В=100км.

Решение. В качестве показателя здесь удобно выбрать стоимость перевозки груза по пути , часть АР этого пути груз провозится по ЖД, а часть пути по шоссе.

Пусть а – стоимость перевозки груза по ЖД на 1 км, тогда стоимость перевозки этого же груза на 1 км по шоссе будет 2а. Пусть расстояние РВ (пункта Р от города В). Тогда стоимость перевозки груза по пути РА:

, Стоимость перевозки груза по шоссе : , т.к. длина пути по теореме Пифагора .

Общая стоимость перевозки груза от завода до города А

является функцией переменного , которое определяет расстояние пункта Р до города В.

Стоимость должна быть наименьшей, поэтому надо найти минимум этой функции. Находим производную:

Приравниваем производную нулю: , откуда получаем . Решая это уравнение, получим:

Таким образом пункт Р находится на расстоянии 57,735 км от города В или на расстоянии 500-57,735=442,265(км) от города А.

Чтобы убедиться, что мы нашли минимум стоимости применим второй достаточный признак экстремума, для чего вычислим вторую производную:

Видно, что для любых , а, следовательно, и для (км), т.е. мы действительно нашли минимум.

Ответ: Шоссе надо подвести к пункту Р, находящемуся от города А на расстоянии 442,265км.

Пример 2. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной а рублей, и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости судна.

При какой скорости плавание судна будет наиболее экономичным.

Решение. Будем предполагать, что плавание будет продолжаться на некоторое расстояние более, чем одни сутки.

Из условия задачи следует, что суточные расходы представляют собой функцию вида:

, где коэффициент пропорциональности, с которым возрастает переменная составляющая суточных расходов. Пусть плавание судна продолжается суток, тогда расходы на все плавание составят:

(руб.)

Очевидно, количество суток, которое займет плавание, будет зависеть от скорости судна и, если судно должно преодолеть некоторое расстояние , то и расходы составят .

Найдем минимум этой функции:

, поэтому откуда получим .

Убедимся, что при таком расходы действительно минимальны (применяем второй достаточный признак экстремума).

.

В точке ,

легко видеть, что при , т.к. и .

Следовательно, мы действительно нашли минимум расходов на плавание.

Ответ: Расходы на плавание будут минимальными, при скорости судна .

Пример 3. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса , чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.

Рис.16.

Решение: Обозначим угол вырезаемого сектора через . Из оставшейся части можно свернуть конусообразную воронку с образующей и длиной окружности ее основания, равной длине дуги АСВ круга (см.рис.16)

.

Если обозначить радиус основания конуса через , то можно записать:

, откуда получим .

Вместимость (объем) воронки:

, где - высота конуса, полученного при сворачивании сектора АСВ. Ее определим по теореме Пифагора.

.

Объем воронки:

Найдем максимум этой функции:

Приравнивая к нулю и преобразуя, получим уравнения для определения :

, откуда находим:

.

Так как не может быть больше , то берем второй корень или в градусах .

Убедимся, что в точке действительно будет максимум функции .

Вычисляем вторую производную .

Подставляя сюда , получим:

.

Так как , то в точке функция достигает максимума.

Ответ: Наибольшая вместимость воронки получится, если из круга вырезать сектор с углом , или в градусах .